Question

10．已知：如圖1，點A在半圓O上運動（不與半圓的兩個端點重合），以AC為對角線作矩形ABCD，使點D落在直徑CE上，CE=8．將△ADC沿AC折疊，得到△AD'C．

（1）求證：AD'是半圓O的切線；
（2）如圖2，當(dāng)AB與CD'的交點F恰好在半圓O上時，連接OA．
①求證：四邊形AOCF是菱形；
②求四邊形AOCF的面積．

Answer 1

分析 （1）連接OA，由折疊的性質(zhì)得出∠1=∠2，由矩形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出∠1+∠2+∠3=90°，即∠OAD′=90°，即可得出結(jié)論；
（2）①由折疊的性質(zhì)得出∠1=∠2，∠D′=∠ADC=90°，由矩形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出∠3=∠4，由ASA證明△AFC≌△AOC，得出對應(yīng)邊相等AF=OA，得出AF=CF=OA=OC，即可得出結(jié)論；
②由弦切角定理得出∠D′AF=∠1，證出∠3=∠4=30°，得出OD=$\frac{1}{2}$OA=2，得出AD=$\sqrt{3}$OD=2$\sqrt{3}$，菱形AOCF的面積=OC•AD，即可得出結(jié)果；

解答 （1）證明：連接OA，如圖1所示：
由折疊的性質(zhì)得：∠1=∠2，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠1+∠DCA=90°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠DCA，
即∠1+∠3=∠DCA，
∴∠1+∠1+∠3=90°，
∴∠1+∠2+∠3=90°，
即∠OAD′=90°，
∴AD′⊥OA，
∴AD′是半圓的切線；
（2）①證明：如圖2所示：
由折疊的性質(zhì)得：∠1=∠2，∠D′=∠ADC=90°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AF=CF，
∵OA=OC，
∴∠2=∠4，
∴∠3=∠4，
在△AFC和△AOC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{AC=AC}\\{∠3=∠4}\end{array}\right.$
∴△AFC≌△AOC（ASA），
∴AF=OA，
∴AF=CF=OA=OC，
∴四邊形AOCF是菱形；
②解：∵AD是半圓O的切線，
∴∠D′AF=∠1，
∴∠D′AF=∠3=∠4，
∵四邊形AOCF是菱形，
∴OA∥CF，
∴∠OAD′+∠D′=180°，
∴∠OAD′=90°，
∴∠3=∠4=30°，
∵OA=OC=$\frac{1}{2}$CE=4，
∴OD=$\frac{1}{2}$OA=2，
∴AD=$\sqrt{3}$OD=2$\sqrt{3}$，
∴菱形AOCF的面積=OC•AD=4×2$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$．

點評 此題是圓的綜合題，主要考查了切線的判定方法、折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、弦切角定理，菱形的面積公式，判斷△AFC≌△AOC是解本題的關(guān)鍵，是一道中等難度的題目．