Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△ABO的邊AB垂直于x軸，垂足為點(diǎn)B，反比例函數(shù)y＝(x＞0)的圖象經(jīng)過AO的中點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)D，且AD＝3．

(1)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4，4)則點(diǎn)C的坐標(biāo)為　 　；

(2)若點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4，n)．

①求反比例函數(shù)y＝的表達(dá)式；

②求經(jīng)過C，D兩點(diǎn)的直線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；

(3)在(2)的條件下，設(shè)點(diǎn)E是線段CD上的動點(diǎn)(不與點(diǎn)C，D重合)，過點(diǎn)E且平行y軸的直線l與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)F，求△OEF面積的最大值．

Answer 1

【答案】(1)C(2，2)；(2)①反比例函數(shù)解析式為y＝；②直線CD的解析式為y＝﹣x+3；(3)m＝3時，S△OEF最大，最大值為.

【解析】

（1）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出結(jié)論；
（2）①先確定出點(diǎn)A坐標(biāo)，進(jìn)而得出點(diǎn)C坐標(biāo)，將點(diǎn)C，D坐標(biāo)代入反比例函數(shù)中即可得出結(jié)論；
②由n=1，求出點(diǎn)C，D坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；
（3）設(shè)出點(diǎn)E坐標(biāo)，進(jìn)而表示出點(diǎn)F坐標(biāo)，即可建立面積與m的函數(shù)關(guān)系式即可得出結(jié)論．

(1)∵點(diǎn)C是OA的中點(diǎn)，A(4，4)，O(0，0)，

∴C，

∴C(2，2)；

故答案為(2，2)；

(2)①∵AD＝3，D(4，n)，

∴A(4，n+3)，

∵點(diǎn)C是OA的中點(diǎn)，

∴C(2，)，

∵點(diǎn)C，D(4，n)在雙曲線上，

∴，

∴，

∴反比例函數(shù)解析式為；

②由①知，n＝1，

∴C(2，2)，D(4，1)，

設(shè)直線CD的解析式為y＝ax+b，

∴，

∴，

∴直線CD的解析式為y＝﹣x+3；

(3)如圖，由(2)知，直線CD的解析式為y＝﹣x+3，

設(shè)點(diǎn)E(m，﹣m+3)，

由(2)知，C(2，2)，D(4，1)，

∴2＜m＜4，

∵EF∥y軸交雙曲線于F，

∴F(m，)，

∴EF＝﹣m+3﹣，

∴S△OEF＝(﹣m+3﹣)×m＝(﹣m2+3m﹣4)＝﹣(m﹣3)2+，

∵2＜m＜4，

∴m＝3時，S△OEF最大，最大值為