Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于點，點，與y軸交于點C，且過點．點P、Q是拋物線上的動點．

(1)求拋物線的解析式；

(2)當點P在直線OD下方時，求面積的最大值．

(3)直線OQ與線段BC相交于點E，當與相似時，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】(1)拋物線的表達式為：；(2)有最大值，當時，其最大值為；(3) 或或或．

【解析】

（1）函數(shù)的表達式為：y=a（x+1）（x-3），將點D坐標代入上式，即可求解；

（2）設點，求出，根據(jù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；

（3）分∠ACB=∠BOQ、∠BAC=∠BOQ，兩種情況分別求解，通過角的關(guān)系，確定直線OQ傾斜角，進而求解．

解：(1)函數(shù)的表達式為：，將點D坐標代入上式并解得：，

故拋物線的表達式為：…①；

(2)設直線PD與y軸交于點G，設點，

將點P、D的坐標代入一次函數(shù)表達式：并解得，直線PD的表達式為：，則，

，

∵，故有最大值，當時，其最大值為；

(3)∵，∴，

∵，故與相似時，分為兩種情況：

①當時，，，，

過點A作AH⊥BC與點H，

，解得：，

∴CH＝

則，

則直線OQ的表達式為：…②，

聯(lián)立①②并解得：，

故點或；

②時，

，

則直線OQ的表達式為：…③，

聯(lián)立①③并解得：，

故點或；

綜上，點或或或．