Question

如圖已知二次函數(shù)圖象的頂點為原點， 直線的圖象與該二次函數(shù)的圖象交于點(8,8)，直線與軸的交點為C，與y軸的交點為B．

（1）求這個二次函數(shù)的解析式與B點坐標；

（2）為線段上的一個動點（點與不重合），過作軸的垂線與這個二次函數(shù)的圖象交于D點，與軸交于點E．設(shè)線段PD的長為，點的橫坐標為t，求與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，在線段上是否存在點，使得以點P、D、B為頂點的三角形與相似？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

 

                                           

 

Answer 1

【答案】

解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為，因為A（8，8）在拋物線上，所以，。

從而拋物線的解析式為.由于直線與y軸交于點B，所以B（0，4）.

(2) 由于點P在直線上,所以P(t,.因為PD⊥x軸,點D在拋物線上,

所以D(t,),所以.若點P與點A重合，則t=8，若P與B重合，則t=0.所以0＜t＜8。

（3）過點B作x軸的平行線，交拋物線于點D₁，過D₁作x軸的垂線交直線AB于點P_1，則

△P₁D₁B∽△BOC，此時D₁的坐標為（，P₁（）。若過點B作AB的垂線交

拋物線于點D₂，作D₂P₂∥y軸，則△P₂D₂B∽△BCO，此時B（0，4），D₂（t，），P₂（）。BP₂=，P₂D₂=，由于，即，解得：t₁=，t₂=，∵t＞0，∴t=，此時P₂（，2）。綜上所述，滿足條件的P的坐標是P（）或P（，2）。

【解析】（1）根據(jù)拋物線的圖象特征設(shè)出適當?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式，由(8,8)利用待定系數(shù)法可得二次函數(shù)的解析式，在中當x=0時就得到y(tǒng)軸的交點為B的坐標；

（2）PD的長等于點P的縱坐標減去點D的縱坐標，即得到與t之間的函數(shù)關(guān)系式，且點P在線段AB上就可得到自變量t的取值范圍；

（3）根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例及勾股定理可求得點的坐標。