Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AM、BN分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B，CD交AM、BN于點(diǎn)D、C，DO平分∠ADC．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）設(shè)AD=4，AB=x （x＞0），BC=y （y＞0）．求y關(guān)于x的函數(shù)解析式．

Answer 1

【答案】
（1）解：過O作OE⊥CD于點(diǎn)E，則∠OED=90°．

∵⊙O與AM相切于點(diǎn)A，

∴∠OAD=90°．

∵OD平分∠ADE，

∴∠ADO=∠EDO．

∵OD=OD，

∴△OAD≌△OED．

∴OE=OA．

∵OA是⊙O的半徑，

∴OE是⊙O的半徑．

∴CD是⊙O的切線

（2）解：如圖2所示：過O作OE⊥CD于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，則DF=AB=x．

∵AD=4，BC=y，

∴CF=BC﹣AD=y﹣4．

由切線長定理可得：DE=DA，CE=CB，

∴CD=CE+ED

=BC+AD

=4+y

在Rt△DFC中，

∵CD2=DF2+FC2

∴（y+4）=x2+（y﹣4）2．

整理得：y= x2，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：y= x2

【解析】（1）過O作OE⊥CD于點(diǎn)E，則∠OED=90°．依據(jù)切線的性質(zhì)可知∠OAD=90°，接下來證明△OAD≌△OED，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知OA=OE，故此OE為⊙O的半徑，則CD是⊙O的切線；（2）如圖2所示：過O作OE⊥CD于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，則DF=AB=x．由切線長定理可得：DE=DA，CE=CB，則CD=4+y，在Rt△DFC中依據(jù)勾股定理可得到（y+4）=x2+（y﹣4）2 ， 從而可得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式．