Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）過點A（3，0），B（1，0），且與y軸交于點C（0，-3），點P是拋物線AC間上一動點，從點C沿拋物線向點A運動（點P與A、C不重合），過點P作PD∥y軸，交AC于點D．
（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當△ADP是直角三角形時，直接寫出點P的坐標；
（3）求線段PD的最大值，并求最大值時P點的坐標；
（4）在問題（3）的結(jié)論下，若點E在x軸上，點F在拋物線上，問是否存在以A、P、E、F為頂點的平行四邊形？若存在，求點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數(shù)法直接求出函數(shù)的解析式；
（2）△ADP是直角三角形時，點P的坐標有2個．
（3）要求出PD的最值，首先要求出AC的解析式，最后把長度表示出來，根據(jù)二次函數(shù)的頂點坐標求出來
（4）因為題目在（3）的條件下確定了P點坐標，利用平行四邊形對角線所分得的三角形全等而求出F的縱坐標來求出F的坐標
解答：解：（1）由題意得：
，
解得：．
∴該拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：y=-x²+4x-3；

（2）設(shè)過A、C兩點的直線解析式為：y=kx+b，
∵A（3，0），C（0，-3），

P點的坐標為：P₁（1，0），P₂（2，1）；

（3）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，由題意得
，
解得：．
∴直線AC的解析式為y=x-3．
設(shè)P（x，-x²+4x-3）則D（x，x-3），
PD=-x²+4x-3-（x-3）
=-，
∴PD的最大值為，P（）；

（4）當APXF是平行四邊形時，則：△APE≌△XFE，
∴這兩個三角形的高相等，
∵P（），
∴F的縱坐標為-，
∴F．
當F點與P點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱時，A、P、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形．F（），
∴點F的坐標為：或（）．
點評：本題是一道二次函數(shù)的綜合運用的試題，考查了運用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式．直角三角形的性質(zhì)，函數(shù)的最值，二次函數(shù)頂點式的運用，平行四邊形的性質(zhì)．