Question

（2012•濱湖區(qū)模擬）如圖，菱形ABCD的邊長為12cm，∠ABC=30°，E為AB上一點，且AE=4cm，動點P從B點出發(fā)，以1cm/s的速度沿BC邊向點C運動，PE交射線DA于點M，設運動時間為t（s）．

（1）當t為何值時，△MAE的面積為3cm²？
（2）在點P出發(fā)的同時，動點Q從點D出發(fā)，以1cm/s的速度沿DC邊向點C運動，連接MQ、PQ，試求△MPQ的面積S（cm²）與t（s）之間的函數(shù)關系式，并求出當t為何值時，△MPQ的面積最大，最大值為多少？
（3）連接EQ，則在運動中，是否存在這樣的t，使得△PQE的外心恰好在它的一邊上？若存在，請直接寫出滿足條件的t的個數(shù)，并選擇其一求出相應的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先證明△EAM∽△EBP，進而得到

AM

BP

=

AE

BE

=

1

2

，然后表示出AE=4cm，BE=8cm，BP=tcm，又可得到AM=

1

2

tcm，再根據(jù)S_△EAM=3cm²，可得方程

1

2

×

1

2

t×2=3，解方程可得t的值；
（2）梯形和三角形面積公式表示出S_△MPQ，進而利用二次函數(shù)最值得出即可；
（3）首先根據(jù)△PQE的外心恰好在它的一邊上，則△PQE為直角三角形，再利用垂直平分線的性質(zhì)得出即可．

解答：解：（1）如圖1，∵四邊形ABCD 為菱形，
∴AD∥BC．
∴△EAM∽△EBP．
∴

AM

BP

=

AE

BE

=

1

2

，
∵AE=4cm，BE=8cm，BP=tcm，
∴AM=

1

2

tcm，
過E作EN⊥AD，
∵∠MAE=30°、AE=4cm，
∴EN=

1

2

AE=2cm，
∵S_△EAM=3cm²，
∴

1

2

×

1

2

t×2=3，
解得t=6，
∴當t為6s時，△MAE的面積為3cm²；

（2）∵AD∥BC，
∴S_梯PCDM=72-

3

2

t，
∵S_△PCQ=

144-24t+t2

4

，S_△MQD=

12t+ 1 2 t2

4

，
∴S_△MPQ=-

3

8

t²+

3

2

t+36，
∴S_△MPQ=-

3

8

 （t-2）²+

75

2

，
當t=2時，S最大值為

75

2

；

（3）t的值有兩個，
如圖2，
∵△PQE的外心恰好在它的一邊上，
∴△PQE為直角三角形，
由BP=DQ、BC=DC可得PQ∥BD，
若∠EPQ=90°，則可得PE⊥BD （或PE∥AC），
∴BP=BE=8cm，即當t=8s時，∠EPQ=90°．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)最值求法等知識，此題綜合性較強，注意題目已知條件的轉化．