【題目】閱讀以下材料,并按要求完成相應(yīng)的任務(wù):

萊昂哈德歐拉(LeonhardEuler)是瑞士數(shù)學(xué)家,在數(shù)學(xué)上經(jīng)常見(jiàn)到以他的名字命名的重要常數(shù),公式和定理,下面就是歐拉發(fā)現(xiàn)的一個(gè)定理:在△ABC中,Rr分別為外接圓和內(nèi)切圓的半徑,OI分別為其中外心和內(nèi)心,則OI2R22Rr

如圖1,⊙O和⊙I分別是△ABC的外接圓和內(nèi)切圓,⊙IAB相切于點(diǎn)F,設(shè)⊙O的半徑為R,⊙I的半徑為r,外心O(三角形三邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn))與內(nèi)心I(三角形三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn))之間的距離OId,則有d2R22Rr

下面是該定理的證明過(guò)程(部分):

延長(zhǎng)AI交⊙O于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)I作⊙O的直徑MN,連接DM,AN

∵∠D=∠N,∠DMI=∠NAI(同弧所對(duì)的圓周角相等).

∴△MDI∽△ANI

,

IAIDIMIN,①

如圖2,在圖1(隱去MDAN)的基礎(chǔ)上作⊙O的直徑DE,連接BEBD,BI,IF

DE是⊙O的直徑,所以∠DBE90°

∵⊙IAB相切于點(diǎn)F,所以∠AFI90°

∴∠DBE=∠IFA

∵∠BAD=∠E(同弧所對(duì)的圓周角相等),

∴△AIF∽△EDB

IABDDEIF

任務(wù):(1)觀察發(fā)現(xiàn):IMR+d,IN  (用含Rd的代數(shù)式表示);

2)請(qǐng)判斷BDID的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.

3)請(qǐng)觀察式子①和式子②,并利用任務(wù)(1),(2)的結(jié)論,按照上面的證明思路,完成該定理證明的剩余部分;

4)應(yīng)用:在RtABCC90°,AC=6cm, BC=8cm,點(diǎn)OAB中點(diǎn),點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心,則OI=  cm

【答案】1Rd;(2BDID,理由見(jiàn)解析 ;(3)見(jiàn)解析;(4

【解析】

1)由IM+IN=2R可得出結(jié)果;

2)過(guò)點(diǎn)IO直徑MN,連接AIOD,連接MD,BI,BD,證明BIDDBI即可;

3)應(yīng)用(1)(2)的結(jié)論即可;

4)由題意可知,O為△ABC的外心,求出外接圓和內(nèi)切圓半徑,然后將數(shù)據(jù)直接代入公式計(jì)算即可.

解:(1)∵IM+IN=2R

IN=2R-IM=Rd

故答案為:Rd;

2BDID,理由:

如圖3,過(guò)點(diǎn)IO直徑MN,連接AIOD,連接MD,BIBD,

點(diǎn)IABC的內(nèi)心

∴∠BADCADCBIABI

∵∠DBCCAD,BIDBAD+∠ABIDBIDBC+∠CBI

∴∠BIDDBI

BDID

3)由(2)知:BDID

IAIDDEIF

DEIFIMIN

∴2Rr=(R+d)(Rd

R2d22Rr

d2R22Rr

4AB=cm

ORtABC斜邊上的中點(diǎn),

O為△ABC的外心,

R=AB=5cm,

ABC的內(nèi)切圓半徑cm

cm

故答案為:

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知:如圖,△ABC中,∠BAC90°,ABAC1,點(diǎn)DBC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B C點(diǎn)重合),∠ADE45°.

1)求證:△ABD∽△DCE

2)設(shè)BDx,AEy,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;

3)當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出AE的長(zhǎng).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】(8分)如圖,已知O是坐標(biāo)原點(diǎn),B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(3,-1)、(2,1)。

(1)以O(shè)點(diǎn)為位似中心在y軸的左側(cè)將OBC放大到兩倍畫(huà)出圖形。

(2)寫(xiě)出B、C兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B、C的坐標(biāo);

(3)如果OBC內(nèi)部一點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),寫(xiě)出M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M的坐標(biāo)。

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程mx22x+2m0

1)證明:不論m為何值時(shí),方程總有實(shí)數(shù)根;

2)當(dāng)m為何整數(shù)時(shí),方程有兩個(gè)不相等的整數(shù)根.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】甲、乙兩名隊(duì)員參加射擊訓(xùn)練,每人射擊10次,成績(jī)分別如下:

根據(jù)以上信息,整理分析數(shù)據(jù)如下:

1)填空:a  ;b  c  ;

2)從平均數(shù)和中位數(shù)的角度來(lái)比較,成績(jī)較好的是  ;(填

3)若需從甲、乙兩名隊(duì)員中選擇一人參加比賽,你認(rèn)為選誰(shuí)更加合適?請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】(1)問(wèn)題:如圖1,在四邊形ABCD中,點(diǎn)PAB上一點(diǎn),∠DPC=A=B=90°.

求證:AD·BC=AP·BP

(2)探究:如圖2,在四邊形ABCD中,點(diǎn)PAB上一點(diǎn),當(dāng)∠DPC=A=B=θ時(shí),上述結(jié)論是否依然成立?說(shuō)明理由.

(3)應(yīng)用:請(qǐng)利用(1)(2)獲得的經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題:

如圖3,在ABD中,AB=12,AD=BD=10.點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度,由點(diǎn)A出發(fā),沿邊AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),且滿(mǎn)足∠DPC=A.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒),當(dāng)以D為圓心,以DC為半徑的圓與AB相切,求t的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知二次函數(shù)yax2bxca≠0)圖象上部分點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)的對(duì)應(yīng)值如下表所示:

x

0

4

y

0.37

-1

0.37

則方程ax2bx1.370的根是(

A.04B.C.15D.無(wú)實(shí)根

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,濕地景區(qū)岸邊有三個(gè)觀景臺(tái)、、.已知米,米,點(diǎn)位于點(diǎn)的南偏西方向,點(diǎn)位于點(diǎn)的南偏東方向.

1)求的面積;

2)景區(qū)規(guī)劃在線(xiàn)段的中點(diǎn)處修建一個(gè)湖心亭,并修建觀景棧道.試求、間的距離.(結(jié)果精確到0.1米)

(參考數(shù)據(jù):,,,,,

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖所示的網(wǎng)格中,每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形,B點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,-1).

1)把格點(diǎn)ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后得到A1BC1,請(qǐng)畫(huà)出A1BC1,并寫(xiě)出點(diǎn)A1的坐標(biāo);

2)以點(diǎn)A為位似中心放大ABC,得到AB2C2,使放大前后的相似之比為12,請(qǐng)?jiān)谙旅婢W(wǎng)格內(nèi)畫(huà)出AB2C2

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