【題目】已知:如圖,△ABC中,∠BAC90°,ABAC1,點(diǎn)DBC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B, C點(diǎn)重合),∠ADE45°.

1)求證:△ABD∽△DCE;

2)設(shè)BDx,AEy,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;

3)當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出AE的長(zhǎng).

【答案】1)證明見(jiàn)解析;(2y=x2-x+1=x-2+;(3AE的長(zhǎng)為2-

【解析】

1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系,易證△ABD∽△DCE
2)由△ABD∽△DCE,對(duì)應(yīng)邊成比例及等腰直角三角形的性質(zhì)可求出yx的函數(shù)關(guān)系式;
3)當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí),因?yàn)槿切蔚难偷撞幻鞔_,所以應(yīng)分AD=DE,AE=DE,AD=AE三種情況討論求出滿足題意的AE的長(zhǎng)即可.

1)證明:
∵∠BAC=90°,AB=AC
∴∠B=C=ADE=45°
∵∠ADC=B+BAD=ADE+CDE
∴∠BAD=CDE
∴△ABD∽△DCE;
2)由(1)得△ABD∽△DCE,
=,
∵∠BAC=90°,AB=AC=1,
BC=CD=-x,EC=1-y,
=,
y=x2-x+1=x-2+;
3)當(dāng)AD=DE時(shí),△ABD≌△CDE,
BD=CE,
x=1-y,即 x-x2=x,
x0,
∴等式左右兩邊同時(shí)除以x得:x=-1
AE=1-x=2-,
當(dāng)AE=DE時(shí),DEAC,此時(shí)DBC中點(diǎn),E也是AC的中點(diǎn),
所以,AE=;
當(dāng)AD=AE時(shí),∠DAE=90°,DB重合,不合題意;
綜上,在AC上存在點(diǎn)E,使△ADE是等腰三角形,
AE的長(zhǎng)為2-

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1EFBC; 2BF·BC=BE·AE.

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1)求yx的函數(shù)關(guān)系式并直接寫(xiě)出自變量x的取值范圍;
2)設(shè)每月的銷售利潤(rùn)為W,請(qǐng)直接寫(xiě)出Wx的函數(shù)關(guān)系式;
3)每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí),每個(gè)月可獲得最大利潤(rùn)?最大的月利潤(rùn)是多少元?

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【題目】如圖,某人為了測(cè)量小山頂上的塔ED的高,他在山下的點(diǎn)A處測(cè)得塔尖點(diǎn)D的仰角為45°,再沿AC方向前進(jìn)60 m到達(dá)山腳點(diǎn)B,測(cè)得塔尖點(diǎn)D的仰角為60°,塔底點(diǎn)E的仰角為30°,求塔ED的高度.(結(jié)果保留根號(hào))

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【題目】某品牌的洗衣機(jī)在市場(chǎng)上享有美譽(yù),市場(chǎng)標(biāo)價(jià)為元,進(jìn)價(jià)為元,市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn),若在市場(chǎng)價(jià)格的基礎(chǔ)上降價(jià)會(huì)引起銷售量的增加,當(dāng)銷售價(jià)格為元時(shí),月銷售量為臺(tái);當(dāng)銷售價(jià)格為元時(shí),月銷售量為臺(tái).若月銷售量(臺(tái))與銷售價(jià)格(元)滿足一次函數(shù)關(guān)系.

1)求之間的函數(shù)關(guān)系式;

2)公司決定采取降價(jià)促銷,迅速占領(lǐng)市場(chǎng)的方案,請(qǐng)根據(jù)以上信息,判斷當(dāng)銷售價(jià)格定為多少元時(shí),公司的月利潤(rùn)最大,并求出的最大值.

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【題目】西寧教育局在局屬各初中學(xué)校設(shè)立自主學(xué)習(xí)日.規(guī)定每周三學(xué)校不得以任何形式布置家庭作業(yè),為了解各學(xué)校的落實(shí)情況,從七、八年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的反饋表.針對(duì)以下六個(gè)項(xiàng)目(每人只能選一項(xiàng)):.課外閱讀;.家務(wù)勞動(dòng);.體育鍛煉;.學(xué)科學(xué)習(xí);.社會(huì)實(shí)踐;.其他項(xiàng)目進(jìn)行調(diào)查.根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖解答下列問(wèn)題:

(1)此次抽查的樣本容量為_(kāi)___________,請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;

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萊昂哈德歐拉(LeonhardEuler)是瑞士數(shù)學(xué)家,在數(shù)學(xué)上經(jīng)常見(jiàn)到以他的名字命名的重要常數(shù),公式和定理,下面就是歐拉發(fā)現(xiàn)的一個(gè)定理:在△ABC中,Rr分別為外接圓和內(nèi)切圓的半徑,OI分別為其中外心和內(nèi)心,則OI2R22Rr

如圖1,⊙O和⊙I分別是△ABC的外接圓和內(nèi)切圓,⊙IAB相切于點(diǎn)F,設(shè)⊙O的半徑為R,⊙I的半徑為r,外心O(三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn))與內(nèi)心I(三角形三條角平分線的交點(diǎn))之間的距離OId,則有d2R22Rr

下面是該定理的證明過(guò)程(部分):

延長(zhǎng)AI交⊙O于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)I作⊙O的直徑MN,連接DM,AN

∵∠D=∠N,∠DMI=∠NAI(同弧所對(duì)的圓周角相等).

∴△MDI∽△ANI

,

IAIDIMIN,①

如圖2,在圖1(隱去MD,AN)的基礎(chǔ)上作⊙O的直徑DE,連接BEBD,BI,IF

DE是⊙O的直徑,所以∠DBE90°

∵⊙IAB相切于點(diǎn)F,所以∠AFI90°,

∴∠DBE=∠IFA

∵∠BAD=∠E(同弧所對(duì)的圓周角相等),

∴△AIF∽△EDB,

IABDDEIF

任務(wù):(1)觀察發(fā)現(xiàn):IMR+d,IN  (用含R,d的代數(shù)式表示);

2)請(qǐng)判斷BDID的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.

3)請(qǐng)觀察式子①和式子②,并利用任務(wù)(1),(2)的結(jié)論,按照上面的證明思路,完成該定理證明的剩余部分;

4)應(yīng)用:在RtABC,C90°,AC=6cm, BC=8cm,點(diǎn)OAB中點(diǎn),點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心,則OI=  cm

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