Question

（2009•玉山縣模擬）在直角坐標系中，二次函數(shù)y=-x²+^x+n-5的圖象與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，其中點A在點B的左邊，若∠ACB=90°，OC＞OA且+=．
（1）求△ABC的面積及這個二次函數(shù)的具體表達式；
（2）試設(shè)計滿足下述條件的一個方案（說明理由）：保持圖象的形狀大小不變，使以圖象與坐標軸的3個交點為頂點的三角形的面積是△ABC的面積的一半．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出ABC三點的坐標，用n表示出ab，c；由勾股定理可得答案；
（2）保持圖象的張口和頂點的縱坐標不變，保持圖象的對稱軸與y軸平行，平移圖象，使圖象與y軸的交點C′坐標為（0，1），則這個圖象為所求．
解答：解：
（1）設(shè)點A（a，0），B（b，0），C（0，c）其中（a＜0，b＞0，c＞0），
由條件得，c=n-5，ab=-2（n-5）．
在Rt△ABC中，∵CO⊥AB，有=，
∴CO²=AO•BO，
∴（n-5）²=-ab，
故（n-5）²=2（n-5），
解得n=7或n=5（舍去），
從而c=2，
因為+=，=，
于是，+=，
解得a=-1或a=-4，
因OC＞OA，
故舍去a=-4，
由a=-1，求得b=4，
故S_△ABC=•OC•AB=5，
又因為點A（-1，0）在拋物線上，
所以把x=-1，y=0代入y=-x²+x+2，得m=1，
所以y=-x²+x+2；

（2）參考方案：保持圖象的張口和頂點的縱坐標不變，保持圖象的對稱軸與y軸平行，平移圖象，使圖象與y軸的交點C′坐標為（0，1），
則這個圖象為所求，理由如下：由y=-x²+x+2=-（x-）²+，
設(shè)移動后的拋物線為y=-（x-k）²+，則這圖象的形式、大小保持不變，
又設(shè)這圖象過點C′（0，1），把x=0，y=1代入上式，
求得k=±，
所求的拋物線為y=-（x-）²+①或y=-（x+）²+②
設(shè)①與x軸的交點為A′，B′，其橫坐標分別為x₁，x₂（x₁≤x₂），
則x₁，x₂為方程-（x-）²⁺=0的兩根，
解這個方程得x₁=-，x₂=+，
∴|x₁-x₂|=5，所以A′B′=5，
∴S_{△A′B′C′}=S_△ABC，同理對于②也成立．
點評：本題考查學生將二次函數(shù)的圖象與解析式相結(jié)合處理問題、解決問題的能力．