Question

（12分）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三點

（1）求這條拋物線的解析式；

（2）E為拋物線上一動點，是否存在點E使以A、B、E為頂點的三角形與△COB相似？若存在，試求出點E的坐標；若不存在，請說明理由；

Answer 1

（1）y=－+x+2；（2）E點坐標為（0，2），（3，2）．

【解析】

試題分析：（1）首先設(shè)出函數(shù)的解析式，然后利用待定系數(shù)法進行求解；（2）首先根據(jù)題意判定△ABE只能是以點E為直角頂點的三角形，然后求出BC的長度，根據(jù)三角形相似求出點E的坐標.

試題解析：（1）∵拋物線經(jīng)過點C（0,2） ∴設(shè)該拋物線的解析式為y=a+bx+2

將A、B兩點坐標代入解析式得： 解得：

∴拋物線的解析式為：y=－+x+2

（2）存在

由圖象可知，以A、B為直角頂點的△ABE不存在，所以△ABE只可能

是以點E為直角頂點的三角形．

在Rt△BOC中，OC=2，OB=4， ∴BC==．

在Rt△BOC中，設(shè)BC邊上的高為h，則×h=×2×4， ∴h=．

∵△BEA∽△COB，設(shè)E點坐標為（x，y）， ∴=，∴y=±2

將y=2代入拋物線y=－+x+2，得=0，=3．

當y=﹣2時，不合題意舍去．

∴E點坐標為（0，2），（3，2）．

考點：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角形相似的應用.

考點分析： 考點1：二次函數(shù) 定義：
一般地，如果（a，b，c是常數(shù)，a≠0），那么y叫做x 的二次函數(shù)。
①所謂二次函數(shù)就是說自變量最高次數(shù)是2;
②二次函數(shù)（a≠0）中x、y是變量，a，b，c是常數(shù)，自變量x 的取值范圍是全體實數(shù)，b和c可以是任意實數(shù)，a是不等于0的實數(shù)，因為a=0時，變?yōu)閥=bx+c若b≠0,則y=bx+c是一次函數(shù)，若b=0，則y=c是一個常數(shù)函數(shù)。
③二次函數(shù)（a≠0）與一元二次方程（a≠0）有密切聯(lián)系，如果將變量y換成一個常數(shù)，那么這個二次函數(shù)就是一個一元二次函數(shù)。 二次函數(shù)的解析式有三種形式：
（1）一般式：（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；
（2）頂點式： （a，h，k是常數(shù)，a≠0）
（3）當拋物線與x軸有交點時，即對應二次好方程有實根x₁和x₂存在時，根據(jù)二次三項式的分解因式，二次函數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩根式。如果沒有交點，則不能這樣表示。

二次函數(shù)的一般形式的結(jié)構(gòu)特征：
①函數(shù)的關(guān)系式是整式；
②自變量的最高次數(shù)是2；
③二次項系數(shù)不等于零。 二次函數(shù)的判定：
二次函數(shù)的一般形式中等號右邊是關(guān)于自變量x的二次三項式；
當b=0，c=0時，y=ax²是特殊的二次函數(shù)；
判斷一個函數(shù)是不是二次函數(shù)，在關(guān)系式是整式的前提下，如果把關(guān)系式化簡整理（去括號、合并同類項）后，能寫成（a≠0）的形式，那么這個函數(shù)就是二次函數(shù)，否則就不是。 試題屬性

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