Question

【題目】已知拋物線經過點A（-3， 0）,F（8， 0）,B（0， 4）三點.

（1）求拋物線解析式及對稱軸.

（2）若點D在線段FB上運動（不與F,B重合），過點D作DC⊥軸于點C（x, 0），將△FCD沿CD向左翻折，點B對應點為點E, △CDE與△FBO重疊部分面積為S.

①試求出S與x之間的函數關系式，并寫出自變量取值范圍.

②是否存在這樣的點C，使得△BDE為直角三角形，若存在，求出C點坐標，若不存在，請說明理由；

（3）拋物線對稱軸上有一點M,平面內有一點N,若以A,B,M,N四點組成的四邊形為菱形，求點N的坐標；

Answer 1

【答案】（1）, 對稱軸;(2) ①;②存在, 或; (3) .

【解析】試題分析:(1)利用待定系數法即可求出;(2) ①C點的位置應分兩種情況進行討論，當C在OF的中點或在中點與F之間時，重合部分是△CDE；當C在OF的中點與O之間時，重合部分是梯形，就可以得到函數解析式．②分△BDE以點B為直角頂點和△BDE以點E為直角頂點，兩種情況進行討論．根據相似三角形的對應邊的比相等，求出OE的長，就可以得到C點的坐標;(3)①AB為邊，②AB為對角線,分兩種情況分析討論就能得到答案.

試題解析:

（1）設拋物線解析式為y=a(x+3)(x-8),把(0,4)代入得4=a×3×(-8),解得,

∴

此時,拋物線的對稱軸為:直線

（2）①

②當∠BED=90°時，△BOE∽△ECD

∴,,

∴EO=2

∴EC=3

∴

當∠EBD=90°時，△EOB∽△BOF

∴EO=2，

∴EC=(2+8)/2,

∴

(3)①以AB為邊，以B為圓心，AB為半徑畫圓交對稱軸于兩點，

,

由平移至得,

,,

以A為圓心，AB為半徑畫圓，此時與對稱軸沒有交點，

故不存在.

②AB為對角線，直線AB的解析式為： ，

則AB的中垂線MN的解析式為： ,

當時 ，y=-1

∴,.

綜上所述： ， ， .

點睛:此題綜合考查了相似綜合題,其中涉及到了待定系數法求二次函數的解析式、二次函數最值的求法，相似三角形的判定與性質以及多邊形面積的求法等知識點. 解答此類關于函數的綜合性應用題要善于設點，然后利用點與直線的關系或者點與其他函數的關系，然后把題中所有可能用到的點用只含一個未知數的方程表達出來.此題難度較大，注意掌握函數思想、分類討論思想與樹形結合思想的應用.