Question

【題目】如圖（1），E是直線AB、CD內(nèi)部一點(diǎn)，AB∥CD，連接EA、ED．

（1）探究：

①若∠A=30°，∠D=40°，則∠AED等于多少度？

②若∠A=20°，∠D=60°，則∠AED等于多少度？

③在圖（1）中∠AED、∠EAB、∠EDC有什么數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

（2）拓展：如圖（2），射線FE與矩形ABCD的邊AB交于點(diǎn)E，與邊CD交于點(diǎn)F，①②③④分別是被射線FE隔開的四個(gè)區(qū)域（不含邊界，其中③④位于直線AB的上方），P是位于以上四個(gè)區(qū)域上點(diǎn)，猜想：∠PEB、∠PFC、∠EPF之間的關(guān)系．（不要求證明）

Answer 1

【答案】（1）①∠AED=70°；

②∠AED=80°；

③猜想：∠AED=∠EAB+∠EDC，證明見解析；

（2）點(diǎn)P在區(qū)域①時(shí)，∠EPF=360°﹣（∠PEB+∠PFC）；

點(diǎn)P在區(qū)域②時(shí)，∠EPF=∠PEB+∠PFC；

點(diǎn)P在區(qū)域③時(shí)，∠EPF=∠PEB﹣∠PFC；

點(diǎn)P在區(qū)域④時(shí)，∠EPF=∠PFC﹣∠PEB．

【解析】（1）①根據(jù)圖形猜想得出所求角度數(shù)即可；
②根據(jù)圖形猜想得出所求角度數(shù)即可；
③猜想得到三角關(guān)系，理由為：延長AE與DC交于F點(diǎn)，由AB與DC平行，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到一對(duì)角相等，再利用外角性質(zhì)及等量代換即可得證；
（2）分四個(gè)區(qū)域分別找出三個(gè)角關(guān)系即可．

解：（1）①∠AED=70°；

②∠AED=80°；

③猜想：∠AED=∠EAB+∠EDC，

證明：延長AE交DC于點(diǎn)F，

∵AB∥DC，

∴∠EAB=∠EFD，

∵∠AED為△EDF的外角，

∴∠AED=∠EDF+∠EFD=∠EAB+∠EDC；

（2）根據(jù)題意得：

點(diǎn)P在區(qū)域①時(shí)，∠EPF=360°﹣（∠PEB+∠PFC）；

點(diǎn)P在區(qū)域②時(shí)，∠EPF=∠PEB+∠PFC；

點(diǎn)P在區(qū)域③時(shí)，∠EPF=∠PEB﹣∠PFC；

點(diǎn)P在區(qū)域④時(shí)，∠EPF=∠PFC﹣∠PEB．

“點(diǎn)睛”此題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．