【題目】如圖，在ABCD中，E、F為邊BC上兩點，BF＝CE，AE＝DF．

（1）求證：△ABE≌△DCF；（2）求證：四邊形ABCD是矩形．

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB＝DC．根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論．

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠C．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB∥CD．根據(jù)矩形的判定定理即可得到結(jié)論．

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB＝DC．

∵BF＝CE，

∴BF﹣EF＝CE﹣EF，

∴BE＝CF．

在△ABE和△DCF中，

∵，

∴△ABE≌△DCF（SSS）；

（2）證明：∵△ABE≌△DCF，

∴∠B＝∠C．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD．

∴∠B+∠C＝180°．

∴∠B＝∠C＝90°．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠B＝90°，

∴四邊形ABCD是矩形．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某超市要進一批雞蛋進行銷售，有、兩家農(nóng)場可供貨．為了比較兩家提供的雞蛋單個大小，超市分別對這兩家農(nóng)場的雞蛋進行抽樣檢測，通過分析數(shù)據(jù)確定雞蛋的供貨商．

（1）下列抽樣方式比較合理的是哪一種？請簡述原因．

①分別從、兩家提供的一箱雞蛋中拿出最上面的兩層（共40枚）雞蛋，并分別稱出其中每一個雞蛋的質(zhì)量．

②分別從、兩家提供的一箱雞蛋中每一層隨機抽4枚（共40枚）雞蛋，并分別稱出其中每個雞蛋的質(zhì)量．

（2）在用合理的方法抽出兩家提供的雞蛋各40枚后，分別稱出每個雞蛋的質(zhì)量（單位：），結(jié)果如表所示（數(shù)據(jù)包括左端點不包括右端點）．

45～47

47～49

49～51

51～53

53～55

農(nóng)場雞蛋

2

8

15

10

5

農(nóng)場雞蛋

4

6

12

14

4

①如果從這兩家農(nóng)場提供的雞蛋中隨機拿一個，分別估計兩家雞蛋質(zhì)量在（單位：）范圍內(nèi)的概率（數(shù)據(jù)包括左端點不包括右端點）；

②如果你是超市經(jīng)營者，試通過數(shù)據(jù)分析確定選擇哪家農(nóng)場提供的雞蛋．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．

托勒密定理：

托勒密（Ptolemy）（公元90年～公元168年），希臘著名的天文學家，他的要著作《天文學大成》被后人稱為“偉大的數(shù)學書”，托勒密有時把它叫作《數(shù)學文集》，托勒密從書中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理．

托勒密定理：

圓內(nèi)接四邊形中，兩條對角線的乘積等于兩組對邊乘積之和．

已知：如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，

求證：ABCD+BCAD＝ACBD

下面是該結(jié)論的證明過程：

證明：如圖2，作∠BAE＝∠CAD，交BD于點E．

∵

∴∠ABE＝∠ACD

∴△ABE∽△ACD

∴

∴ABCD＝ACBE

∵

∴∠ACB＝∠ADE（依據(jù)1）

∵∠BAE＝∠CAD

∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC

即∠BAC＝∠EAD

∴△ABC∽△AED（依據(jù)2）

∴ADBC＝ACED

∴ABCD+ADBC＝AC（BE+ED）

∴ABCD+ADBC＝ACBD

任務(wù)：（1）上述證明過程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？

（2）當圓內(nèi)接四邊形ABCD是矩形時，托勒密定理就是我們非常熟知的一個定理：　 　．

（請寫出）

（3）如圖3，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，點C為的中點，求AC的長．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在矩形中，連接點為上一點，使得連接交于點，作交的延長線于點．

（1）求證：．

（2）若求的長．

（3）在（2）的條件下，將沿著對折得到點的對應(yīng)點為點，連接試求的周長．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知：如圖，反比例函數(shù)y= 的圖象與一次函數(shù)y=x+b的圖象交

于點A（1，4）、點B（-4，n）．

（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；

（2）求△OAB的面積；

（3）直接寫出一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值的自變量x的取值范圍．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，一張半徑為的圓形紙片，點為圓心，將該圓形紙片沿直線折疊，直線交于兩點．

（1）若折疊后的圓弧恰好經(jīng)過點，利用直尺和圓規(guī)在圖中作出滿足條件的一條直線（不寫作法，保留作圖痕跡），并求此時線段的長度．

（2）已知是一點，．

①若折疊后的圓弧經(jīng)過點，則線段長度的取值范圍是________．

②若折疊后的圓弧與直線相切于點，則線段的長度為_________．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在菱形ABCD中，點E在對角線AC上，點F在邊CD上，連接BE、EF．若∠EFC＝90°+∠CBE，BE＝7，EF＝10．則點D到EF的距離為_____．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知點A，點C在反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象上，AB⊥x軸于點B，OC交AB于點D，若CD＝OD，則△AOD與△BCD的面積比為__．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】閱讀下面的材料：

如果函數(shù) y＝f（x）滿足：對于自變量 x 的取值范圍內(nèi)的任意 x1，x2，

（1）若 x1＜x2，都有 f（x1）＜f（x2），則稱 f（x）是增函數(shù)；

（2）若 x1＜x2，都有 f（x1）＞f（x2），則稱 f（x）是減函數(shù)．

例題：證明函數(shù)f（x）＝ （x＞0）是減函數(shù)．

證明：設(shè) 0＜x1＜x2，

f（x1）﹣f（x2）＝．

∵0＜x1＜x2，

∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0．

∴＞0．即 f（x1）﹣f（x2）＞0．

∴f（x1）＞f（x2）．

∴函數(shù) f（x）= （x＞0）是減函數(shù)．

根據(jù)以上材料，解答下面的問題：

已知函數(shù)．

f（﹣1）＝ +（﹣2）＝-1，f（﹣2）＝ +（﹣4）＝．

（1）計算：f（﹣3）＝ ，f（﹣4）＝ ；

（2）猜想：函數(shù)是 函數(shù)（填“增”或“減”）；

（3）請仿照例題證明你的猜想．

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