如圖,拋物線與y軸交于點(diǎn)A(0,4),與x軸交于B、C兩點(diǎn).其中OB、OC是方程的x2-10x+16=0兩根,且OB<OC.
(1)求拋物線的解析式;
(2)直線AC上是否存在點(diǎn)D,使△BCD為直角三角形.若存在,求所有D點(diǎn)坐標(biāo);反之說(shuō)理;
(3)點(diǎn)P為x軸上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(A點(diǎn)除外),連PA、PC,若設(shè)△PAC的面積為S,P點(diǎn)橫坐標(biāo)為t,則S在何范圍內(nèi)時(shí),相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有1個(gè).
(1)解方程x2-10x+16=0,
得x1=2,x2=8,
則B(-2,0),C(8,0),
設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c,將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線得,
c=4
4a-2b+c=0
64a+8b+c=0

解得
a=-
1
4
b=1
1
2
c=4

故拋物線的解析式為y=-
1
4
x2+
3
2
x+4;

(2)設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,將A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得,
b=4
8k+b=0
,
解得
k=-
1
2
b=4

故直線AC的解析式為y=-
1
2
x+4;
直線AC上存在點(diǎn)D,使△BCD為直角三角形:
①∠DBC=90°時(shí),x=-2,y=-
1
2
×(-2)+4=5,則D點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,5);
②∠BDC=90°時(shí),設(shè)直線BD的解析式為y=2x+b1,則2×(-2)+b1=0,解得b1=4,故直線AC的解析式為y=2x+4;
聯(lián)立兩條直線的解析式
y=-
1
2
x+4
y=2x+4
,解得
x=0
y=4
,則D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4);
綜上所述D點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,5)或(0,4);

(3)P在拋物線AC上面積的最大值為16,P在拋物線AB上面積的最大值為20,
則S的取值范圍為16<S<20.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,四邊形ABCD是正方形,已知A(5,4),B(10,4):
(1)求點(diǎn)C、D的坐標(biāo);
(2)若一次函數(shù)y=kx+3(k≠0)的圖象過(guò)C點(diǎn),求k的值;
(3)在(2)的條件下,①若將直線l:y=kx+3向下平移a個(gè)單位,將正方形分為上下兩部分的面積比為7:3,試求出a的值;②若將直線l:y=kx+3平移后與以A為圓心,AC為半徑的圓相切,直接寫出平移后的直線的解析式.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與直線y=kx+b交于A(3,0)、C(0,3)兩點(diǎn),拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為Q(2,-1).點(diǎn)P是該拋物線上一動(dòng)點(diǎn),從點(diǎn)C沿拋物線向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P與A不重合),過(guò)點(diǎn)P作PDy軸,交直線AC于點(diǎn)D.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t,PD的長(zhǎng)度為l,求l與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并求l取最大值時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo).
(3)在問(wèn)題(2)的結(jié)論下,若點(diǎn)E在x軸上,點(diǎn)F在拋物線上,問(wèn)是否存在以A、P、E、F為頂點(diǎn)的平行四邊形?若存在,求點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知:如圖,拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過(guò)直線y=-x+3與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B,此拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C,拋物線的頂點(diǎn)為D.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)M為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求使得△ABM的面積與△ABD的面積相等的點(diǎn)M的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+6經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-3,0)和點(diǎn)B(2,0).直線y=h(h為常數(shù),且0<h<6)與BC交于點(diǎn)D,與y軸交于點(diǎn)E,與AC交于點(diǎn)F,與拋物線在第二象限交于點(diǎn)G.
(1)求拋物線的解析式;
(2)連接BE,求h為何值時(shí),△BDE的面積最大;
(3)已知一定點(diǎn)M(-2,0).問(wèn):是否存在這樣的直線y=h,使△OMF是等腰三角形?若存在,請(qǐng)求出h的值和點(diǎn)G的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

數(shù)學(xué)家們通過(guò)長(zhǎng)期的研究,得到了關(guān)于“等周問(wèn)題”的重要結(jié)論:在周長(zhǎng)相同的所有封閉平面曲線中,以圓所圍成的面積最大.
“等周問(wèn)題”雖然較為繁雜,但其根本思想基于下面2個(gè)事實(shí):
事實(shí)1:等周長(zhǎng)n邊形的面積,當(dāng)圖形為正n邊形時(shí),其面積最大;
事實(shí)2:等周長(zhǎng)n邊形的面積,當(dāng)邊數(shù)n越大時(shí),其面積也越大.
為了理解這些事實(shí)的合理性,曙光數(shù)學(xué)小組走出校門展開了下列課題研究.請(qǐng)你幫助他們解決其中的一些問(wèn)題.
現(xiàn)有長(zhǎng)度為100m的籬笆(可彎曲圍成一個(gè)區(qū)域).
(1)如果用籬笆圍成一個(gè)長(zhǎng)方形雞場(chǎng),怎樣圍才能使雞場(chǎng)的面積最大?為什么?
(2)如果用籬笆圍成一個(gè)正五邊形雞場(chǎng),那么與(1)中的正方形雞場(chǎng)比較,哪個(gè)面積更大?請(qǐng)?jiān)谑聦?shí)1的基礎(chǔ)上證明事實(shí)2:“等周長(zhǎng)n邊形的面積,當(dāng)邊數(shù)n越大時(shí),其面積也越大.”
(3)利用事實(shí)1和事實(shí)2,請(qǐng)對(duì)“等周問(wèn)題”的重要結(jié)論作出較為合理的解釋.
(4)愛動(dòng)腦筋的小明提出一個(gè)問(wèn)題:如果借用一條充分長(zhǎng)的直墻,將籬笆圍成一個(gè)四邊形雞場(chǎng),為了使雞場(chǎng)的面積盡量大,所圍成的長(zhǎng)方形雞場(chǎng)的長(zhǎng)是寬的2倍(如圖).你覺得他講的是否有道理?你有沒有更好的方法,使圍成的四邊形雞場(chǎng)的面積更大?如果有,請(qǐng)說(shuō)明你的方法.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖1,Rt△ABC中,∠A=90°,tanB=
3
4
,點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q、R分別在線段BC、AC上,且使得四邊形APQR是矩形.設(shè)AP的長(zhǎng)為x,矩形APQR的面積為y,已知y是x的函數(shù),其圖象是過(guò)點(diǎn)(12,36)的拋物線的一部分(如圖2所示).

(1)求AB的長(zhǎng);
(2)當(dāng)AP為何值時(shí),矩形APQR的面積最大,并求出最大值.
為了解決這個(gè)問(wèn)題,孔明和研究性學(xué)習(xí)小組的同學(xué)作了如下討論:
張明:圖2中的拋物線過(guò)點(diǎn)(12,36)在圖1中表示什么呢?
李明:因?yàn)閽佄锞上的點(diǎn)(x,y)是表示圖1中AP的長(zhǎng)與矩形APQR面積的對(duì)應(yīng)關(guān)系,那么,(12,36)表示當(dāng)AP=12時(shí),AP的長(zhǎng)與矩形APQR面積的對(duì)應(yīng)關(guān)系.
趙明:對(duì),我知道縱坐標(biāo)36是什么意思了!
孔明:哦,這樣就可以算出AB,這個(gè)問(wèn)題就可以解決了.請(qǐng)根據(jù)上述對(duì)話,幫他們解答這個(gè)問(wèn)題.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

在一幅長(zhǎng)60cm,寬40cm的矩形風(fēng)景畫的四周鑲一條金色紙邊,制成一幅矩形掛圖,如圖所示,如果要使整個(gè)掛圖的面積是ycm2,設(shè)金色紙邊的寬度為xcm2,那么y關(guān)于x的函數(shù)是( 。
A.y=(60+2x)(40+2x)B.y=(60+x)(40+x)
C.y=(60+2x)(40+x)D.y=(60+x)(40+2x)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

某商店將進(jìn)價(jià)為100元的某商品按120元的價(jià)格出售,可賣出300件;若商店在120元的基礎(chǔ)上每漲價(jià)1元,就要少賣10件,而每降價(jià)1元,就可多賣30件.
(1)求所獲利潤(rùn)y(元)與售價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)為了獲取最大利潤(rùn),商店應(yīng)將每件商品的售價(jià)定為多少元?

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同步練習(xí)冊(cè)答案