如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與直線y=kx+b交于A（3，0）、C（0，3）兩點，拋物線的頂點坐標為Q（2，-1）．點P是該拋物線上一動點，從點C沿拋物線向點A運動（點P與A不重合），過點P作PD∥y軸，交直線AC于點D．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）設P點的橫坐標為t，PD的長度為l，求l與t之間的函數(shù)關系式，并求l取最大值時，點P的坐標．
（3）在問題（2）的結論下，若點E在x軸上，點F在拋物線上，問是否存在以A、P、E、F為頂點的平行四邊形？若存在，求點F的坐標；若不存在，請說明理由．
（1）∵拋物線的頂點為Q（2，-1），
∴設y=a（x-2）2-1，將C（0，3）代入，得：
3=a（0-2）2-1，
解得：a=1．
∴y=（x-2）2-1，即y=x2-4x+3；

（2）∵直線y=kx+b過（3，0），（0，3），則：
3k+b=0
b=3
，
解得：
k=-1
b=3
，
∴AB的解析式為：y=-x+3．
由題意有P（t，t2-4t+3），D（t，-t+3），
∴PD=l=（-t+3）-（t2-4t+3）=-t2+3t，
∴當t=
3
2
時，l取最大值，
此時P點的坐標為[
3
2
，（
3
2
）2-4×（
3
2
）+3]，
即P（
3
2
，-
3
4
）．

（3）①若AP是平行四邊形的一條邊時，平移直線AP（如圖）交x軸于點E，交拋物線于點F．
此時當AP=FE時，四邊形PAFE是平行四邊形．
∵P（
3
2
，-
3
4
），
∴可令F（x，
3
4
）或F（x，-
3
4
）．
∴x2-4x+3=
3
4
或x2-4x+3=-
3
4
，
解之得x1=
4-
7
2
，x2=
4+
7
2
，x3=
5
2
，x4=
3
2
．
但當x1=
3
2
時，F(xiàn)點與P點重合，不能構成平行四邊形．
滿足條件的F點有三個，即F1（
4-
7
2
，
3
4
）、F2（
4+
7
2
，
3
4
）、F3（
5
2
，-
3
4
）；
②當AP是平行四邊形的一條對角線時，要使以A、P、E、F為頂點的平行四邊形，
則有PF∥AE，即F2的縱坐標與P點的縱坐標相同，即x2-4x+3=-
3
4
，
此種情況在①中已求得F3的坐標．
綜上所述，滿足條件的F點的坐標有三個，
即F1（
4-
7
2
，
3
4
）、F2（
4+
7
2
，
3
4
）、F3
5
2
（，-
3
4
）．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線y=
1
2
x2-mx+2m-
7
2
．
（1）試說明：無論m為何實數(shù)，該拋物線與x軸總有兩個不同的交點．
（2）如圖，當拋物線的對稱軸為直線x=3時，拋物線的頂點為點C，直線y=x-1與拋物線交于A、B兩點，并與它的對稱軸交于點D．
①拋物線上是否存在一點P使得四邊形ACPD是正方形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；
②平移直線CD，交直線AB于點M，交拋物線于點N，通過怎樣的平移能使得以C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，拋物線與y軸交于點A（0，4），與x軸交于B、C兩點．其中OB、OC是方程的x2-10x+16=0兩根，且OB＜OC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）直線AC上是否存在點D，使△BCD為直角三角形．若存在，求所有D點坐標；反之說理；
（3）點P為x軸上方的拋物線上的一個動點（A點除外），連PA、PC，若設△PAC的面積為S，P點橫坐標為t，則S在何范圍內時，相應的點P有且只有1個．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在△ABC中，AB=AC=5，以AB為直徑的⊙P交BC于H．點A，B在x軸上，點H在y軸上，B點的坐標為（1，0）．
（1）求點A，H，C的坐標；
（2）過H點作AC的垂線交AC于E，交x軸于F，求證：EF是⊙P的切線；
（3）求經(jīng)過A，O兩點且頂點到x軸的距離等于4的拋物線解析式．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

如圖，已知⊙P的半徑為3，圓心P在拋物線y=
1
2
x2上運動，當⊙P與x軸相切時，圓心P的坐標為（　　）
A．（
6
，3）		B．（
3
，3）		C．（
6
，3）或（-
6
，3）		D．（
3
，3）或（-
3
，3）

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

函數(shù)y=-
3
16
x2+3的圖象與x軸正半軸交于點A，與y軸交于點B，過點A、B分別作y軸、x軸的平行線交直線y=kx于點M、N．
（1）用k表示S△OBN：S△MAO的值．
（2）當S△OBN=
1
4
S△MAO時，求圖象過點M、N、B的二次函數(shù)的解析式．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

山西特產(chǎn)專賣店銷售核桃，其進價為每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后來經(jīng)過市場調查發(fā)現(xiàn)，單價每降低2元，則平均每天的銷售可增加20千克．若該專賣店銷售這種核桃要想平均每天獲利2240元，請回答：
（1）若該專賣店銷售這種核桃要想平均每天獲利2240元，每千克核桃應降價多少元？
（2）在（1）問的條件下，平均每天獲利不變，為盡可能讓利于顧客，贏得市場，該店應按原售價的幾折出售？
（3）寫出每天總利潤y與降價x元的函數(shù)關系式，為了使每天的利潤最大，應降價多少元？

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

兩個直角邊為6的全等的等腰直角三角形Rt△AOB和Rt△CED，按如圖一所示的位置放置，點O與E重合．
（1）Rt△AOB固定不動，Rt△CED沿x軸以每秒2個單位長度的速度向右運動，當點E運動到與點B重合時停止，設運動x秒后，Rt△AOB和Rt△CED的重疊部分面積為y，求y與x之間的函數(shù)關系式；
（2）當Rt△CED以（1）中的速度和方向運動，運動時間x=2秒時，Rt△CED運動到如圖二所示的位置，若拋物線y=
1
4
x2+bx+c過點A，G，求拋物線的解析式；
（3）現(xiàn)有一動點P在（2）中的拋物線上運動，試問點P在運動過程中是否存在點P到x軸或y軸的距離為2的情況？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在△ABC中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm∕s的速度移動，點Q從B點開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動．如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，經(jīng)幾秒鐘，使△PBQ的面積等于8cm2？在移動過程中，△PBQ的最大面積是多少？

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