Question

【題目】已知：如圖，AB為⊙O的直徑，AC與⊙O相切于點A，連接BC交圓于點D，過點D作⊙O的切線交AC于E．

（1）求證：AE＝CE

（2）如圖，在弧BD上任取一點F連接AF，弦GF與AB交于H，與BC交于M，求證：∠FAB+∠FBM＝∠EDC．

（3）如圖，在（2）的條件下，當(dāng)GH＝FH，HM＝MF時，tan∠ABC＝，DE＝時，N為圓上一點，連接FN交AB于L，滿足∠NFH+∠CAF＝∠AHG，求LN的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）

【解析】

（1）由直徑所對的圓周角是直角，得∠ADC＝90°，由切線長定理得EA＝ED，再由等角的余角相等，得到∠C＝∠EDC，進而得證結(jié)論.

（2）由同角的余角相等，得到∠BAD＝∠C，再通過等量代換，角的加減進而得證結(jié)論.

（3）先由條件得到AB＝26，設(shè)HM＝FM＝a，GH＝HF＝2a，BH＝a，再由相交弦定理得到GHHF＝BHAH，從而求出FH，BH，AH，再由角的關(guān)系得到△HFL∽△HAF，從而求出HL，AL，BL，FL，再由相交弦定理得到LNLF＝ALBL，進而求出LN的長.

解：

（1）證明：如圖1中，連接AD．

∵AB是直徑，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°，

∵EA、ED是⊙O的切線，

∴EA＝ED，

∴∠EAD＝∠EDA，

∵∠C+∠EAD＝90°，∠EDC+∠EDA＝90°，

∴∠C＝∠EDC，

∴ED＝EC，

∴AE＝EC．

（2）證明：如圖2中，連接AD．

∵AC是切線，AB是直徑，

∴∠BAC＝∠ADB＝90°，

∴∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠C＝90°，

∴∠BAD＝∠C，

∵∠EDC＝∠C，

∴∠BAD＝∠EDC，

∵∠DBF＝∠DAF，

∴∠FBM+∠FAB＝∠FBM+∠DAF＝∠BAD，

∴∠FAB+∠FBM＝∠EDC．

（3）解：如圖3中，

由（1）可知，DE＝AE＝EC，∵DE＝，

∴AC＝，

∵tan∠ABC＝＝，

∴,

∴AB＝26，

∵GH＝FH，HM＝FN，設(shè)HM＝FM＝a，GH＝HF＝2a，BH＝a，

∵GHHF＝BHAH，

∴4a2＝a（26﹣a），

∴a＝6，

∴FH＝12，BH＝8，AH＝18，

∵GH＝HF，

∴AB⊥GF，

∴∠AHG＝90°，

∵∠NFH+∠CAF＝∠AHG，

∴∠NFH+∠CAF＝90°，

∵∠NFH+∠HLF＝90°，

∴∠HLF＝∠CAF，

∵AC∥FG，

∴∠CAF＝∠AFH，

∴∠HLF＝∠AFH，

∵∠FHL＝∠AHF，

∴△HFL∽△HAF，

∴FH2＝HLHA，

∴122＝HL18，

∴HL＝8，

∴AL＝10，BL＝16，FL＝ ＝4，

∵LNLF＝ALBL，

∴4LN＝1016，

∴LN＝ .