Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，連接BD，將△ABD繞B點作順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△A′B′D′（B′與B重合），且點D′剛好落在BC的延長上，A′D′與CD相交于點E．

（1）求矩形ABCD與△A′B′D′重疊部分（如圖1中陰影部分A′B′CE）的面積；

（2）將△A′B′D′以每秒2cm的速度沿直線BC向右平移，如圖2，當B′移動到C點時停止移動．設(shè)矩形ABCD與△A′B′D′重疊部分的面積為y，移動的時間為x，請你直接寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量x的取值范圍；

（3）在（2）的平移過程中，是否存在這樣的時間x，使得△AA′B′成為等腰三角形？若存在，請你直接寫出對應(yīng)的x的值，若不存在，請你說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）使得△AA′B′成為等腰三角形的x的值有：0秒、 秒、 ．

【解析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知B′D′＝BD＝10，CD′＝B′D′﹣BC＝2，由tan∠B′D′A′＝可求出CE，即可計算△CED′的面積，SABCE＝SABD′﹣SCED′；

（2）分類討論，當0≤x≤時和當＜x≤4時，分別列出函數(shù)表達式；

（3）分類討論，當AB′＝A′B′時；當AA′＝A′B′時；當AB′＝AA′時，根據(jù)勾股定理列方程即可．

解：（1）∵AB＝6cm，AD＝8cm，

∴BD＝10cm，

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知B′D′＝BD＝10cm，CD′＝B′D′﹣BC＝2cm，

∵tan∠B′D′A′＝

∴

∴CE＝cm，

∴S ABCE＝SABD′﹣SCED′＝（cm2）；

（2）①當0≤x＜時，CD′＝2x+2，CE＝（x+1），

∴S△CD′E＝x2+3x+，

∴y＝×6×8﹣x2﹣3x﹣＝﹣x2﹣3x+；

②當≤x≤4時，B′C＝8﹣2x，CE＝（8﹣2x）

∴＝x2﹣x+．

（3）①如圖1，當AB′＝A′B′時，x＝0秒；

②如圖2，當AA′＝A′B′時，A′N＝BM＝BB′+B′M＝2x+，A′M＝NB＝，

∵AN2+A′N2＝36，

∴（6﹣）2+（2x+）2＝36，

解得：x＝，x＝（舍去）；

③如圖2，當AB′＝AA′時，A′N＝BM＝BB′+B′M＝2x+，A′M＝NB＝，

∵AB2+BB′2＝AN2+A′N2

∴36+4x2＝（6﹣）2+（2x+）2

解得：x＝．

綜上所述，使得△AA′B′成為等腰三角形的x的值有：0秒、秒、．