Question

已知：如圖，在菱形ABCD中，F(xiàn)是BC上任意一點(diǎn)，連接AF交對(duì)角線(xiàn)BD于點(diǎn)E，連接EC．
（1）求證：AE=EC；
（2）當(dāng)∠ABC=60°，∠CEF=60°時(shí)，點(diǎn)F在線(xiàn)段BC上的什么位置？說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）證明：連接AC，
∵BD也是菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)，
∴BD垂直平分AC，
∴AE=EC；

（2）解：點(diǎn)F是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)．
理由如下：在菱形ABCD中，AB=BC，
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=60°，
∵AE=EC，∠CEF=60°，
∴∠EAC=∠BAC=30°，
∴AF是△ABC的角平分線(xiàn)，
∵AF交BC于F，
∴AF是△ABC的BC邊上的中線(xiàn)，
∴點(diǎn)F是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)．
分析：（1）連接AC，根據(jù)菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分可得BD垂直平分AC，再根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等即可得證；
（2）先判定出△ABC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的每一個(gè)角都是60°可得∠BAC=60°，再根據(jù)等邊對(duì)等角以及三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠EAC=30°，從而判斷出AF是△ABC的角平分線(xiàn)，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AF是△ABC的BC邊上的中線(xiàn)，從而解得．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握各圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．