Question

某地有一座圓弧形拱橋，圓心為O，橋下水面寬度為7.2m，過O作OC⊥AB于D，交圓弧于C，CD=2.4m（如圖所示）．現有一艘寬3m、船艙頂部為正方形并高出水面AB，2m的貨船要經過拱橋，此貨船能否順利通過這座拱橋？

Answer 1

分析：連接ON，OB，通過求距離水面2米高處即ED長為2時，橋有多寬即MN的長與貨船頂部的3米做比較來判定貨船能否通過（MN大于3則能通過，MN小于等于3則不能通過）．先根據半弦，半徑和弦心距構造直角三角形求出半徑的長，再根據Rt△OEN中勾股定理求出EN的長，從而求得MN的長．

解答：解：如圖，連接ON，OB．
∵OC⊥AB，
∴D為AB中點，
∵AB=7.2m，
∴BD=

1

2

AB=3.6m．
又∵CD=2.4m，
設OB=OC=ON=r，則OD=（r-2.4）m．
在Rt△BOD中，根據勾股定理得：r²=（r-2.4）²+3.6²，
解得r=3.9．
∵CD=2.4m，船艙頂部為正方形并高出水面AB，2m，
∴CE=2.4-2=0.4m，
∴OE=r-CE=3.9-0.4=3.5m，
在Rt△OEN中，EN²=ON²-OE²=3.9²-3.5²=2.96（m²），
∴EN=

2.96

（m）．
∴MN=2EN=2×

2.96

≈3.44m＞3m．
∴此貨船能順利通過這座拱橋．

點評：解決此類橋拱問題，通常是利用半弦，半徑和弦心距構造直角三角形，根據直角三角形中的勾股定理作為相等關系解方程求線段的長度．要注意本題是通過求距離水面2米高處即ED長為2時，橋有多寬即MN的長與貨船頂部的3米做比較來判定貨船能否通過（MN大于3則能通過，MN小于等于3則不能通過）．