【題目】已知直線ykx+b經(jīng)過點A02),B(﹣4,0)和拋物線yx2

1)求直線的解析式;

2)將拋物線yx2沿著x軸向右平移,平移后的拋物線對稱軸左側(cè)部分與y軸交于點C,對稱軸右側(cè)部分拋物線與直線ykx+b交于點D,連接CD,當CDx軸時,求平移后得到的拋物線的解析式;

3)在(2)的條件下,平移后得到的拋物線的對稱軸與x軸交于點E,P為該拋物線上一動點,過點P作拋物線對稱軸的垂線,垂足為Q,是否存在這樣的點P,使以點E,P,Q為頂點的三角形與AOB相似?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】1yx+2;(2yx24x+4;(3)(),(),(04)或(4,4).

【解析】

1)根據(jù)點A,B的坐標,利用待定系數(shù)法即可求出直線AB的解析式;

2)設平移后拋物線的解析式為y=(xm2m0),則平移后拋物線的對稱軸為直線xm,點C的坐標為(0,m2),由CDx軸,可得出點C,D關于直線xm對稱,進而可得出點D的坐標,再利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征即可得出關于m的一元二次方程,解之取其正值即可得出結論;

3)設點P的坐標為(a,a24a+4),則PQ|a2|,EQa24a+4,由∠PQE90°可得出EQP∽△AOBPQE∽△AOB,①當EQP∽△AOB時,利用相似三角形的性質(zhì)可得出關于a的方程,解之即可得出a值,將其代入點P的坐標即可得出結論;②當PQE∽△AOB時,利用相似三角形的性質(zhì)可得出關于a的方程,解之即可得出a值,將其代入點P的坐標即可得出結論.綜上,此題得解.

解:(1)將A0,2),B(﹣4,0)代入ykx+b,得:

,解得:,

∴直線AB的解析式為yx+2

2)如圖1,設平移后拋物線的解析式為y=(xm2m0),則平移后拋物線的對稱軸為直線xm,點C的坐標為(0,m2).

CDx軸,

∴點C,D關于直線xm對稱,

∴點D的坐標為(2m,m2).

∵點D在直線yx+2上,

m2×2m+2,

解得:m1=﹣1(舍去),m22,

∴平移后拋物線的解析式為y=(x22,即yx24x+4

3)存在這樣的點P,使以點E,PQ為頂點的三角形與AOB相似.

設點P的坐標為(a,a24a+4),則PQ|a2|,EQa24a+4

∵∠PQE90°,

∴分兩種情況考慮,如圖2所示.

①當EQP∽△AOB時,,即

化簡,得:|a2|,

解得:a1,a2,

∴點P的坐標為(,)或(,);

②當PQE∽△AOB時,,即,

化簡,得:|a2|2

解得:a10,a24

∴點P的坐標為(0,4)或(44).

綜上所述:存在這樣的點P,使以點E,PQ為頂點的三角形與AOB相似,點P的坐標為(,),(,),(0,4)或(44).

練習冊系列答案
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【題目】如圖1,在矩形ABCD中,動點P從點B出發(fā),沿BCCDDA運動至點A停止.設點P運動的路程為x,△ABP的面積為y,若y關于x的函數(shù)圖象如圖2所示,則y的最大值是( 。

A.55B.30C.16D.15

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【題目】央視熱播節(jié)目“朗讀者”激發(fā)了學生的閱讀興趣.某校為滿足學生的閱讀需求,欲購進一批學生喜歡的圖書,學校組織學生會成員隨機抽取部分學生進行問卷調(diào)查,被調(diào)查學生須從“文史類、社科類、小說類、生活類”中選擇自己喜歡的一類,根據(jù)調(diào)查結果繪制了統(tǒng)計圖(未完成),

請根據(jù)圖中信息,解答下列問題:

1)將圖1的條形統(tǒng)計圖補充完整;

2)圖2中“小說類”所在扇形的圓心角為___________度;

3)若該校共有學生2500人,估計該校喜歡“社科類”書籍的學生人數(shù).

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【題目】某旅行團32人在景區(qū)A游玩,他們由成人、少年和兒童組成.已知兒童10人,成人比少年多12人.

1)求該旅行團中成人與少年分別是多少人?

2)因時間充裕,該團準備讓成人和少年(至少各1名)帶領10名兒童去另一景區(qū)B游玩.景區(qū)B的門票價格為100元/張,成人全票,少年8折,兒童6折,一名成人可以免費攜帶一名兒童.

①若由成人8人和少年5人帶隊,則所需門票的總費用是多少元?

②若剩余經(jīng)費只有1200元可用于購票,在不超額的前提下,最多可以安排成人和少年共多少人帶隊?求所有滿足條件的方案,并指出哪種方案購票費用最少.

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【題目】一幢樓的樓頂端掛著一幅長10米的宣傳條幅AB,某數(shù)學興趣小組在一次活動中,準備測量該樓的高度,但被建筑物FGHM擋住,不能直接到達樓的底部,他們在點D處測得條幅頂端A的仰角∠CDA45°,向后退8米到E點,測得條幅底端B的仰角∠CEB30°(點C,D,E在同一直線上,ECAC).請你根據(jù)以上數(shù)據(jù),幫助該興趣小組計算樓高AC(結果精確到0.01米,參考數(shù)據(jù):≈1.732,≈1.414).

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【題目】小明將小球沿與地面成一定角度的方向擊出,在不考慮空氣阻力的條件下,小球的飛行高度y(m)與它的飛行時間x(s)滿足二次函數(shù)關系,yx的幾組對應值如下表所示:

x(s)

0

0.5

1

1.5

2

y(m)

0

8.75

15

18.75

20

()y關于x的函數(shù)解析式(不要求寫x的取值范圍);

()問:小球的飛行高度能否達到22m?請說明理由.

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【題目】如圖,小明利用所學數(shù)學知識測量某建筑物BC高度,采用了如下的方法:小明從與某建筑物底端B在同一水平線上的A點出發(fā),先沿斜坡AD行走260米至坡頂D處,再從D處沿水平方向繼續(xù)前行若干米后至點E處,在E點測得該建筑物頂端C的仰角為72°,建筑物底端B的俯角為63°,其中點AB、CD、E在同一平面內(nèi),斜坡AD的坡度i=12.4,根據(jù)小明的測量數(shù)據(jù),計算得出建筑物BC的高度約為( )米(計算結果精DE確到0.1米,參考數(shù)據(jù):sin72°≈0.95tan72°≈3.08,sin63°≈0.89,tan63°≈1.96

A.157.1 B.157.4 C.257.4 D.257.1

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小青同學根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗對函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進行了探究.

下面是小青同學的探究過程,請補充完整:

(1) 按照下表中自變量x的值進行取點、畫圖、測量,分別得到了y的幾組對應值;

x/cm

0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3

3.5

4

4.5

5

6

y/cm

0

1.56

2.24

2.51

m

2.45

2.24

1.96

1.63

1.26

0.86

0

(說明:補全表格時,相關數(shù)據(jù)保留一位小數(shù))

m的值約為多少cm;

(2)在平面直角坐標系中,描出以補全后的表格中各組數(shù)值所對應的點(x ,y),畫出該函數(shù)的圖象;

(3)結合畫出的函數(shù)圖象,解決問題:

①當y > 2時,寫出對應的x的取值范圍;

②若點P不與B,C兩點重合,是否存在點P,使得BQ=BP?(直接寫結果)

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【題目】對于平面直角坐標系上的點,定義如下:若上存在兩個點,使得點在射線上,且,則稱的依附點.

1)當的半徑為1

①已知點,,在點中,的依附點是______

②點在直線上,若的依附點,求點的橫坐標的取值范圍;

2的圓心在軸上,半徑為1,直線軸、軸分別交于點,若線段上的所有點都是的依附點,請求出圓心的橫坐標的取值范圍.

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