Question

如圖，AB是半圓O的直徑，AB=2．射線AM、BN為半圓O的切線．在AM上取一點D，連接BD交半圓于點C，連接AC．過O點作BC的垂線OE，垂足為點E，與BN相交于點F．過D點作半圓O的切線DP，切點為P，與BN相交于點Q．
（1）求證：△ABC∽△OFB；
（2）當△ABD與△BFO的面枳相等時，求BQ的長；
（3）求證：當D在AM上移動時（A點除外），點Q始終是線段BF的中點．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)OE∥AC，得出∠BAC=∠FOB，進而得出∠BCA=∠FBO=90°，從而證明結(jié)論；
（2）根據(jù)△ACB∽△OBF得出△ABD∽△BFO，從而得出DQ∥AB，即可得出BQ=AD；
（3）首先得出AD=DP，QB=BQ，進而得出DQ²=QK²+DK²，得出BF=2BQ，即可得出Q為BF的中點．
解答：（1）證明：∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，即：AC⊥BC，
又OE⊥BC，
∴OE∥AC，
∴∠BAC=∠FOB，
∵BN是半圓的切線，
∴∠BCA=∠FBO=90°，
∴△ABC∽△OFB．

（2）解：由△ACB∽△OBF得，∠OFB=∠DBA，∠BCA=∠FBO=90°，
∵AM、BN是⊙O的切線，
∴∠DAB=∠OBF=90°，
∴△ABD∽△BFO，
∴當△ABD與△BFO的面積相等時，△ABD≌△BFO，
∴AD=OB=1，
∵DP切圓O，DA切圓O，
∴DP=DA，
∵△ABD≌△BFO，
∴DA=BO=PO=DP，
又∵∠DAO=∠DPO=90°，
∴四邊形AOPD是正方形，
∴DQ∥AB，
∴四邊形ABQD是矩形，
∴BQ=AD=1；

（3）證明：由（2）知，△ABD∽△BFO，
∴=，
∴BF===，
∵DP是半圓O的切線，射線AM、BN為半圓O的切線，
∴AD=DP，QB=QP，
過Q點作AM的垂線QK，垂足為K，在Rt△DQK中，
DQ²=QK²+DK²，
∴（AD+BQ）²=（AD-BQ）²+2²．
∴BQ=，
∴BF=2BQ，
∴Q為BF的中點．
點評：此題主要考查了切線的性質(zhì)以及全等三角形的判定和相似三角形的判定等知識，熟練利用相似三角形的判定是解決問題的關鍵．