Question

【題目】如圖1，△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，AD平分∠CAB交CB于D．

（1）求CD的長；

（2）如圖2，E是AC上一點，連ED，過D作DE的垂線交AB于F，若ED＝DF，求CE的長；

（3）如圖3，在（2）條件下，點P在FD延長線上，過F作ED的平行線QF，連PE、PQ，若∠QPF＝2∠PED＝2α，PQ＝5PD，（QF＞PF），求QF．

Answer 1

【答案】（1）CD＝3；（2）CE＝1；（3）QF＝．

【解析】

（1）過點D作DE⊥AB于E，根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得CD＝DE，利用勾股定理列式求出AB，然后根據S△ABC＝S△ACD+S△ABD列方程求解即可．

（2）過F作FG⊥BC于G，證明：△CDE≌△GFD，△BGF∽△BCA，即可求解；

（3）過P作∠QPF的平分線交FQ于G，過G作GH⊥PQ于H，證明Rt△PFG≌Rt△PHG，△PED∽△GPF，設PD＝x，建立方程求解即可．

（1）如圖1，過點D作DE⊥AB于E，

∵∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，

∴CD＝DE，

在△ABC中由勾股定理得：AB＝＝10，

∵S△ABC＝S△ACD+S△ABD，

∴×AC×BC＝×AC×CD+×AB×DE，即×6×8＝×6×CD+×10×CD，

解得：CD＝3；

（2）如圖2，過F作FG⊥BC于G，則∠C＝∠FGD＝90°，

∵DE⊥DF，

∴∠EDF＝90°，

∴∠CDE+∠CED＝∠CDE+∠FDG＝90°，

∴∠CED＝∠FDG，

在△CDE與△GFD中

，

∴△CDE≌△GFD（AAS），

∴CE＝DG，FG＝CD＝3，

∵FG∥AC，

∴△BGF∽△BCA，

∴＝，

∴BG＝4，

∴CE＝DG＝1；

（3）如圖3，在Rt△CDE中，DE＝DF＝＝，

∵PQ＝5PD，∴設PD＝x，則PQ＝5x，

∴PF＝+x，過P作∠QPF的平分線交FQ于G，過G作GH⊥PQ于H，

∵FQ∥DE，∴∠QFP＝∠EDP＝90°，

∴GH＝GF，在Rt△PFG與Rt△PHG中，，

∴Rt△PFG≌Rt△PHG（HL），

∴PH＝PF＝+x，

∵∠QPF＝2∠PED＝2∠FPG＝2α，

∴∠PED＝∠FPG，

∴△PED∽△GPF，

∴＝，即＝，

∴FG＝，

∴HG＝FG＝，

∵QH＝PQ﹣PH＝4x﹣，

∴QG＝，FQ＝QG+FG＝，

∵△QGH∽△QPF

∴＝，即GHFQ＝PFQG

∴×＝（+x）×，解得：x1＝（舍去），x2＝，

∴QF＝．