Question

如圖，在正方形ABCD中，AD=2，E是AB的中點，將△BEC繞點B逆時針旋轉90°后，點E落在CB的延長線上點F處，點C落在點A處．再將線段AF繞點F順時針旋轉90°得線段FG，連接EF，CG．

（1）求證：EF∥CG；

（2）求點C，點A在旋轉過程中形成的，與線段CG所圍成的陰影部分的面積．

　

Answer 1

（1）證明：在正方形ABCD中，AB=BC=AD=2，∠ABC=90°，

∵△BEC繞點B逆時針旋轉90°得到△ABF，

∴△ABF≌△CBE，

∴∠FAB=∠ECB，∠ABF=∠CBE=90°，AF=EC，

∴∠AFB+∠FAB=90°，

∵線段AF繞點F順時針旋轉90°得線段FG，

∴∠AFB+∠CFG=∠AFG=90°，

∴∠CFG=∠FAB=∠ECB，

∴EC∥FG，

∵AF=EC，AF=FG，

∴EC=FG，

∴四邊形EFGC是平行四邊形，

∴EF∥CG；

（2）解：∵AD=2，E是AB的中點，

∴FE=BE=AB=×2=1，

∴AF===，

由平行四邊形的性質，△FEC≌△CGF，

∴S_△FEC=S_△CGF，

∴S_陰影=S_扇形BAC+S_△ABF+S_△FGC﹣S_扇形FAG，

=+×2×1+×（1+2）×1﹣，

=﹣．