Question

【題目】已知:如圖1，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N，試解答下列問題：

(1)在圖1中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系:_____________________；

(2)在圖2中，若∠D=40°，∠B=30°，試求∠P的度數(shù)(寫出解答過程)；

(3)如果圖2中，∠D和∠B為任意角，其他條件不變，試寫出∠P與∠D、∠B之間的數(shù)量關(guān)系(直接寫出結(jié)論即可).

Answer 1

【答案】（1）∠A+∠D=∠B+∠C；（2）35°；（3）2∠P=∠B+∠D

【解析】

（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°，易得∠A+∠D=∠B+∠C；
（2）仔細(xì)觀察圖2，得到兩個關(guān)系式∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，再由角平分線的性質(zhì)得∠1=∠2，∠3=∠4，兩式相減，即可得結(jié)論．

（3）參照（2）的解題思路.

解：（1）∠A+∠D=∠B+∠C；

（2）由（1）得，∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，

∴∠1-∠3=∠P-∠D，∠2-∠4=∠B-∠P，

又∵AP、CP分別平分∠DAB和∠BCD，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∴∠P-∠D=∠B-∠P，

即2∠P=∠B+∠D，

∴∠P=（40°+30°）÷2=35°．

（3）由（2）的解題步驟可知，∠P與∠D、∠B之間的數(shù)量關(guān)系為：2∠P=∠B+∠D．