Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，⊙C的半徑為r，P是與圓心C不重合的點，點P關于⊙C的反稱點的定義如下：若在射線CP上存在一點P′，滿足CP+CP′=2r，則稱P′為點P關于⊙C的反稱點，如圖為點P及其關于⊙C的反稱點P′的示意圖．
特別地，當點P′與圓心C重合時，規(guī)定CP′=0

（1）當⊙O的半徑為1時．
①分別判斷點M（2，1），N（，0），T（1，）關于⊙O的反稱點是否存在？若存在，求其坐標；
②點P在直線y=﹣x+2上，若點P關于⊙O的反稱點P′存在，且點P′不在x軸上，求點P的橫坐標的取值范圍；
（2）⊙C的圓心在x軸上，半徑為1，直線y=﹣x+2與x軸、y軸分別交于點A，B，若線段AB上存在點P，使得點P關于⊙C的反稱點P′在⊙C的內部，求圓心C的橫坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當⊙O的半徑為1時．

①點M（2，1）關于⊙O的反稱點不存在；

N（，0）關于⊙O的反稱點存在，反稱點N′（，0）；

T（1，）關于⊙O的反稱點存在，反稱點T′（0，0）；

②∵OP≤2r=2，OP2≤4，設P（x，﹣x+2），

∴OP2=x2+（﹣x+2）2=2x2﹣4x+4≤4，

∴2x2﹣4x≤0，

x（x﹣2）≤0，

∴0≤x≤2．

當x=2時，P（2，0），P′（0，0）不符合題意；

當x=0時，P（0，2），P′（0，0）不符合題意；

∴0＜x＜2；

（2）

解：∵直線y=﹣x+2與x軸、y軸分別交于點A，B，

∴A（6，0），B（0，2），

∴=，

∴∠OBA=60°，∠OAB=30°．

設C（x，0）．

①當C在OA上時，作CH⊥AB于H，

則CH≤CP≤2r=2，

所以AC≤2，

C點橫坐標x≥2（當x=2時，C點坐標（2，0），H點的反稱點H′（2，0）在圓的內部）；

②當C在A點右側時，

C到線段AB的距離為AC長，AC最大值為8，

所以C點橫坐標x≤10．

綜上所述，圓心C的橫坐標的取值范圍是2≤x≤8．

【解析】（1）①根據反稱點的定義，可得當⊙O的半徑為1時，點M（2，1）關于⊙O的反稱點不存在；N（，0）關于⊙O的反稱點存在，反稱點N′（，0）；T（1，）關于⊙O的反稱點存在，反稱點T′（0，0）；
②由OP≤2r=2，得出OP2≤4，設P（x，﹣x+2），由勾股定理得出OP2=x2+（﹣x+2）2=2x2﹣4x+4≤4，解不等式得出0≤x≤2．再分別將x=2與0代入檢驗即可；
（2）先由y=﹣x+2，求出A（6，0），B（0，2），則=，∠OBA=60°，∠OAB=30°．再設C（x，0），分兩種情況進行討論：①C在OA上；②C在A點右側.
此題考查了圓的綜合應用，涉及知識點有勾股定理，“反對稱點”的定義與應用.