Question

19．如圖，已知△ABC是等邊三角形，且AE=CD，AD、BE相交于P，BQ⊥AD于Q．
（1）求證：△ABE≌△CAD；
（2）求∠PBQ的度數(shù)；
（2）求證：BP=2PQ．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，通過全等三角形的判定定理SAS證得結(jié)論；
（2）利用（1）中的全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等和三角形外角的性質(zhì)求得∠BPQ=60°；
（3）利用（2）的結(jié)果求得∠PBQ=30°，所以由“30度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半”得到2PQ=BP

解答 （1）證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=CA，∠BAE=∠C=60°，
∴在△AEB與△CDA中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CA}\\{∠BAE=∠C}\\{AE=CD}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△CDA（SAS）；

（2）解：由（1）知，△AEB≌△CDA，
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠BAD+∠ABD=∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°，
∴∠BPQ=∠BAD+∠ABD=60°；
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=90°-∠BPQ=30°，

（3）解：如圖，由（2）知，∠PBQ=30°，
∴PQ=$\frac{1}{2}$BP，
∴BP=2PQ．

點(diǎn)評(píng) 此題是全等三角形的判定與性質(zhì)，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形．全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件，此題是一道比較典型的題目，需記住這種題型的解決方法．