Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣x2﹣2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．

（1）請直接寫出點(diǎn)A，C，D的坐標(biāo)；
（2）如圖（1），在x軸上找一點(diǎn)E，使得△CDE的周長最小，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）如圖（2），F(xiàn)為直線AC上的動點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△AFP為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當(dāng)y=﹣x2﹣2x+3中y=0時(shí)，有﹣x2﹣2x+3=0，

解得：x1=﹣3，x2=1，

∵A在B的左側(cè)，

∴A（﹣3，0），B（1，0）．

當(dāng)y=﹣x2﹣2x+3中x=0時(shí)，則y=3，

∴C（0，3）．

∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

∴頂點(diǎn)D（﹣1，4）

（2）

解：作點(diǎn)C關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)C′，連接C′D交x軸于點(diǎn)E，此時(shí)△CDE的周長最小，如圖1所示．

∵C（0，3），

∴C′（0，﹣3）．

設(shè)直線C′D的解析式為y=kx+b，

則有 ，解得： ，

∴直線C′D的解析式為y=﹣7x﹣3，

當(dāng)y=﹣7x﹣3中y=0時(shí)，x=﹣ ，

∴當(dāng)△CDE的周長最小，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣ ，0）

（3）

解：設(shè)直線AC的解析式為y=ax+c，

則有 ，解得： ，

∴直線AC的解析式為y=x+3．

假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)F（m，m+3），

△AFP為等腰直角三角形分三種情況（如圖2所示）：

①當(dāng)∠PAF=90°時(shí)，P（m，﹣m﹣3），

∵點(diǎn)P在拋物線y=﹣x2﹣2x+3上，

∴﹣m﹣3=﹣m2﹣2m+3，

解得：m1=﹣3（舍去），m2=2，

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣5）；

②當(dāng)∠AFP=90°時(shí)，P（2m+3，0）

∵點(diǎn)P在拋物線y=﹣x2﹣2x+3上，

∴0=﹣（2m+3）2﹣2×（2m+3）+3，

解得：m3=﹣3（舍去），m4=﹣1，

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）；

③當(dāng)∠APF=90°時(shí)，P（m，0），

∵點(diǎn)P在拋物線y=﹣x2﹣2x+3上，

∴0=﹣m2﹣2m+3，

解得：m5=﹣3（舍去），m6=1，

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）．

綜上可知：在拋物線上存在點(diǎn)P，使得△AFP為等腰直角三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣5）或（1，0）

【解析】（1）令拋物線解析式中y=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再令拋物線解析式中x=0求出y值即可得出點(diǎn)C坐標(biāo)，利用配方法將拋物線解析式配方即可找出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）作點(diǎn)C關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)C′，連接C′D交x軸于點(diǎn)E，此時(shí)△CDE的周長最小，由點(diǎn)C的坐標(biāo)可找出點(diǎn)C′的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)C′、D的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線C′D的解析式，令其y=0求出x值，即可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)F（m，m+3），分∠PAF=90°、∠AFP=90°和∠APF=90°三種情況考慮．根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合點(diǎn)A、F點(diǎn)的坐標(biāo)找出點(diǎn)P的坐標(biāo)，將其代入拋物線解析式中即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解方程求出m值，再代入點(diǎn)P坐標(biāo)中即可得出結(jié)論．