【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=﹣x2﹣2x+3與x軸交于A,B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D.
(1)請直接寫出點(diǎn)A,C,D的坐標(biāo);
(2)如圖(1),在x軸上找一點(diǎn)E,使得△CDE的周長最小,求點(diǎn)E的坐標(biāo);
(3)如圖(2),F(xiàn)為直線AC上的動點(diǎn),在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得△AFP為等腰直角三角形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
解:當(dāng)y=﹣x2﹣2x+3中y=0時(shí),有﹣x2﹣2x+3=0,
解得:x1=﹣3,x2=1,
∵A在B的左側(cè),
∴A(﹣3,0),B(1,0).
當(dāng)y=﹣x2﹣2x+3中x=0時(shí),則y=3,
∴C(0,3).
∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,
∴頂點(diǎn)D(﹣1,4)
(2)
解:作點(diǎn)C關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)C′,連接C′D交x軸于點(diǎn)E,此時(shí)△CDE的周長最小,如圖1所示.
∵C(0,3),
∴C′(0,﹣3).
設(shè)直線C′D的解析式為y=kx+b,
則有 ,解得: ,
∴直線C′D的解析式為y=﹣7x﹣3,
當(dāng)y=﹣7x﹣3中y=0時(shí),x=﹣ ,
∴當(dāng)△CDE的周長最小,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(﹣ ,0)
(3)
解:設(shè)直線AC的解析式為y=ax+c,
則有 ,解得: ,
∴直線AC的解析式為y=x+3.
假設(shè)存在,設(shè)點(diǎn)F(m,m+3),
△AFP為等腰直角三角形分三種情況(如圖2所示):
①當(dāng)∠PAF=90°時(shí),P(m,﹣m﹣3),
∵點(diǎn)P在拋物線y=﹣x2﹣2x+3上,
∴﹣m﹣3=﹣m2﹣2m+3,
解得:m1=﹣3(舍去),m2=2,
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,﹣5);
②當(dāng)∠AFP=90°時(shí),P(2m+3,0)
∵點(diǎn)P在拋物線y=﹣x2﹣2x+3上,
∴0=﹣(2m+3)2﹣2×(2m+3)+3,
解得:m3=﹣3(舍去),m4=﹣1,
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0);
③當(dāng)∠APF=90°時(shí),P(m,0),
∵點(diǎn)P在拋物線y=﹣x2﹣2x+3上,
∴0=﹣m2﹣2m+3,
解得:m5=﹣3(舍去),m6=1,
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0).
綜上可知:在拋物線上存在點(diǎn)P,使得△AFP為等腰直角三角形,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,﹣5)或(1,0)
【解析】(1)令拋物線解析式中y=0,解關(guān)于x的一元二次方程即可得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo),再令拋物線解析式中x=0求出y值即可得出點(diǎn)C坐標(biāo),利用配方法將拋物線解析式配方即可找出頂點(diǎn)D的坐標(biāo);(2)作點(diǎn)C關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)C′,連接C′D交x軸于點(diǎn)E,此時(shí)△CDE的周長最小,由點(diǎn)C的坐標(biāo)可找出點(diǎn)C′的坐標(biāo),根據(jù)點(diǎn)C′、D的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線C′D的解析式,令其y=0求出x值,即可得出點(diǎn)E的坐標(biāo);(3)根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式,假設(shè)存在,設(shè)點(diǎn)F(m,m+3),分∠PAF=90°、∠AFP=90°和∠APF=90°三種情況考慮.根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合點(diǎn)A、F點(diǎn)的坐標(biāo)找出點(diǎn)P的坐標(biāo),將其代入拋物線解析式中即可得出關(guān)于m的一元二次方程,解方程求出m值,再代入點(diǎn)P坐標(biāo)中即可得出結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我們把分子為1的分?jǐn)?shù)叫做單位分?jǐn)?shù),如, , ,…任何一個(gè)單位分?jǐn)?shù)都可以拆分成兩個(gè)不同的單位分?jǐn)?shù)的和,如, , ,…
(1)根據(jù)對上述式子的觀察,你會發(fā)現(xiàn),則a=________,b=________;
(2)進(jìn)一步思考,單位分?jǐn)?shù)(n是不小于2的正整數(shù)),則x=________(用n的代數(shù)式表示)
(3)計(jì)算: .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀理解題: 學(xué)習(xí)了二次根式后,你會發(fā)現(xiàn)一些含有根號的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方,如3+2 =(1+)2, 我們來進(jìn)行以下的探索:
設(shè)a+b=(m+n)2(其中a,b,m,n都是正整數(shù)),則有a+b=m2+2n2+2mn,∴a=m+2n2 , b=2mn, 這樣就得出了把類似a+b的式子化為平方式的方法.
請仿照上述方法探索并解決下列問題:
(1)當(dāng)a,b,m,n都為正整數(shù)時(shí),若a﹣b=(m﹣n)2 , 用含m,n的式子分別表示a,b,得a=________,b=________;
(2)利用上述方法,找一組正整數(shù)a,b,m,n填空:___﹣_____=(____﹣_____)2
(3)a﹣4=(m﹣n)2且a,m,n都為正整數(shù),求a的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖4所示,所有正方形的中心均在坐標(biāo)原點(diǎn),且每條邊與x軸或y軸平行,從內(nèi)到外,它們的邊長依次為2,4,6,8 …,頂點(diǎn)依次用…表示,則頂點(diǎn)A55的坐標(biāo)是( ).
A. (13,13) B. (-13,-13) C. (14,14) D. (-14,-14)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC在直角坐標(biāo)系中,
(1)請寫出△ABC各點(diǎn)的坐標(biāo)。
(2)求出S△ABC
(3)若把△ABC向上平移2個(gè)單位,再向右平移2個(gè)單位得△A′B′C′,在圖中畫出△ABC變化位置,并寫出A′、B′、C′的坐標(biāo)。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=﹣ x2﹣3x﹣ ,設(shè)自變量的值分別為x1 , x2 , x3 , 且﹣3<x1<x2<x3 , 則對應(yīng)的函數(shù)值y1 , y2 , y3的大小關(guān)系是( )
A.y1>y2>y3
B.y1<y2<y3
C.y2>y3>y1
D.y2<y3<y1
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,AD,CE分別是∠BAC和∠BCA的平分線,AD,CE相交于點(diǎn)F.
(1)求∠EFD的度數(shù);
(2)判斷FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線p:y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為C,與x軸相交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為C′,我們稱以A為頂點(diǎn)且過點(diǎn)C′,對稱軸與y軸平行的拋物線為拋物線p的“夢之星”拋物線,直線AC′為拋物線p的“夢之星”直線.若一條拋物線的“夢之星”拋物線和“夢之星”直線分別是y=x2+2x+1和y=2x+2,則這條拋物線的解析式為
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+2與直線l交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn),且A點(diǎn)為拋物線與y軸的交點(diǎn),B(﹣2,﹣4),拋物線的對稱軸是直線x=2,過點(diǎn)A作AC⊥AB,交拋物線于點(diǎn)C、x軸于點(diǎn)D.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)拋物線上是否存在點(diǎn)K,使得以AC為邊的平行四邊形ACKL的面積等于△ABC的面積?若存在,請直接寫出點(diǎn)K的橫坐標(biāo);若不存在,請說明理由.[提示:拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為x=﹣ ,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣ , )].
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