【題目】已知CD是經過∠BCA頂點C的一條直線,CA=CB.E、F分別是直線CD上兩點,且∠BEC=∠CFA=∠.
(1)若直線CD經過∠BCA的內部,且E、F在射線CD上,請解決下面問題:
①如圖1若∠BCA=90°,∠=90°、探索三條線段EF、BE、AF的數量關系并證明你的結論.
②如圖2,若0°<∠BCA<180°, 請?zhí)砑右粋關于∠與∠BCA關系的條件___ ____使①中的結論仍然成立;
(2)如圖3,若直線CD經過∠BCA的外部,∠=∠BCA,請寫出三條線段EF、BE、AF的數量關系并證明你的結論.
【答案】(1)①EF、BE、AF的數量關系: (相關等式均可,證明詳見解析; ②∠與∠BCA關系:∠ +∠BCA=180°(或互補,相關等式均可);(2)EF、BE、AF的數量關系: (相關等式均可) ,證明詳見解析.
【解析】試題分析:(1)①求出∠BEC=∠AFC=90°,∠CBE=∠ACF,根據AAS證△BCE≌△CAF,推出BE=CF,CE=AF即可;.
②求出∠BEC=∠AFC,∠CBE=∠ACF,根據AAS證△BCE≌△CAF,推出BE=CF,CE=AF即可;.
(2)求出∠BEC=∠AFC,∠CBE=∠ACF,根據AAS證△BCE≌△CAF,推出BE=CF,CE=AF即可.
試題解析:(1)①如圖1中,.
.
E點在F點的左側,.
∵BE⊥CD,AF⊥CD,∠ACB=90°,.
∴∠BEC=∠AFC=90°,.
∴∠BCE+∠ACF=90°,∠CBE+∠BCE=90°,.
∴∠CBE=∠ACF,.
在△BCE和△CAF中,.
,.
∴△BCE≌△CAF(AAS),.
∴BE=CF,CE=AF,.
∴EF=CF-CE=BE-AF,.
當E在F的右側時,同理可證EF=AF-BE,.
∴EF=|BE-AF|;
②∠α+∠ACB=180°時,①中兩個結論仍然成立;.
證明:如圖2中,.
.
∵∠BEC=∠CFA=∠a,∠α+∠ACB=180°,.
∴∠CBE=∠ACF,.
在△BCE和△CAF中,.
,.
∴△BCE≌△CAF(AAS),.
∴BE=CF,CE=AF,.
∴EF=CF-CE=BE-AF,.
當E在F的右側時,同理可證EF=AF-BE,.
∴EF=|BE-AF|;
(2)EF=BE+AF..
理由是:如圖3中,.
.
∵∠BEC=∠CFA=∠a,∠a=∠BCA,.
又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°,∠BCE+∠ACF+∠ACB=180°,.
∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF,.
∴∠EBC=∠ACF,.
在△BEC和△CFA中,.
,.
∴△BEC≌△CFA(AAS),.
∴AF=CE,BE=CF,.
∵EF=CE+CF,.
∴EF=BE+AF.
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【題目】我國政府從2007年起對職業(yè)中專在校生給予生活補貼,每位在校生每年補貼1500元某市預計2008年職業(yè)中專在校生人數是2007年的1.2倍,于是要在2007年的基礎上增加補貼600萬元。2008年該市職業(yè)中專在校生有多少萬人?補貼多少萬元?
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【題目】如圖,在△ABC中,BE,CD分別為其角平分線且交于點O.
(1)當∠A=60°時,求∠BOC的度數;
(2)當∠A=100°時,求∠BOC的度數;
(3)當∠A=α時,求∠BOC的度數.
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【題目】如圖,AB∥EF,則∠A、∠C、∠D、∠E滿足的數量關系是( )
A. ∠A+∠C+∠D+∠E=360°
B. ∠A+∠D=∠C+∠E
C. ∠A-∠C+∠D+∠E=180°
D. ∠E-∠C+∠D-∠A=90°
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【題目】如圖,有公路l1同側、l2異側的兩個城鎮(zhèn)A,B,電信部門要在S區(qū)修建一座信號發(fā)射塔,按照設計要求,發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)A,B的距離必須相等,到兩條公路l1,l2的距離也必須相等,發(fā)射塔C應修建在什么位置?請用尺規(guī)作圖找出所有符合條件的點,注明點C的位置.(保留作圖痕跡,不寫作法)
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【題目】小紅與小蘭從學校出發(fā)到距學校5千米的書店買書,如圖反應了他們兩人離開學校的路程與時間的關系.請根據圖形解決問題.
(1)小紅與小蘭誰先出發(fā)?早出發(fā)幾分鐘?
(2)小蘭前20分鐘的速度和最后10分鐘的速度各是多少?
(3)小紅與小蘭從學校到書店的平均速度各是多少?
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【題目】目前,我區(qū)正在實施的“同城一體化”工程進展順利區(qū)招投標中心在對觀光路工程招標時,接到甲、乙兩個工程隊的投標書,甲、乙施工一天的工程費用分別為1.5萬元和1.1萬元,區(qū)招投標中心根據甲、乙兩隊的投標書測算,應有三種施工方案:
(1)甲隊單獨做這項工程剛好如期完成;
(2)乙隊單獨做這項工程,要比規(guī)定日期多5天;
(3)若甲、乙兩隊合作4天后,余下的工程由乙隊單獨做,也正好如期完成.
在確保如期完成的情況下,你認為哪種方案最節(jié)省工程款,通過計算說明理由.
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