Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，AC＝CD．點(diǎn)E、F分別為邊BC、CD上的兩點(diǎn)，且∠EAF＝∠CAD

（1）求證：∠D＝∠ACB：

（2）求證：△ADF∽△ACE：

（3）求證：AE＝EF．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出∠ACB＝∠CAD，再利用等邊對(duì)等角可以得到∠D＝∠CAD，進(jìn)一步得出證明；

（2）根據(jù)兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相等證明相似即可；

（3）根據(jù)△ADF∽△ACE得出對(duì)應(yīng)邊成比例，然后進(jìn)一步證明△EAF∽△CAD，所以∠EFA＝∠D，最后進(jìn)一步證明即可.

證明：（1）∵AC＝CD，

∴∠D＝∠CAD，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴BC∥AD，

∴∠ACB＝∠CAD，

∴∠D＝∠ACB；

（2）∵∠EAF＝∠CAD，

∴∠EAC＝∠DAF，

又∵∠D＝∠ACB，

∴△ADF∽△ACE：

（3）∵△ADF∽△ACE，

∴AD：AC＝AF：AE，

∴AD：AF＝AC：AE，

∵∠EAF＝∠CAD，

∴△EAF∽△CAD，

∴∠EFA＝∠D，

∴∠EAF＝∠EFA，

∴EA＝EF．