Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=，BC=3，△DEF是邊長(zhǎng)為a（a為小于3的常數(shù)）的等邊三角形，將△DEF沿AC方向平移，使點(diǎn)D在線段AC上，DE∥AB，設(shè)△DEF與△ABC重疊部分的周長(zhǎng)為T(mén)．
（1）求證：點(diǎn)E到AC的距離為一個(gè)常數(shù)；
（2）若AD=，當(dāng)a=2時(shí)，求T的值；
（3）若點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)處，請(qǐng)用含a的代數(shù)式表示T．

Answer 1

【答案】分析：（1）解直角三角形，求得點(diǎn)E到AC的距離等于a，這是一個(gè)定值；
（2）如答圖2所示，作輔助線，將四邊形MDEN分成一個(gè)等邊三角形和一個(gè)平行四邊形，求出其周長(zhǎng)；
（3）可能存在三種情形，需要分類討論：
①若0＜a≤，△DEF在△ABC內(nèi)部，如答圖3所示；
②若＜a≤，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)部，點(diǎn)F在△ABC外部，在如答圖4所示；
③若＜a＜3，點(diǎn)E、F均在△ABC外部，如答圖5所示．
解答：解：（1）由題意得：tanA===，
∴∠A=60°．
∵DE∥AB，
∴∠CDE=∠A=60°．
如答圖1所示，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AC于點(diǎn)H，

則EH=DE•sin∠CDE=a•=a．
∴點(diǎn)E到AC的距離為一個(gè)常數(shù)．

（2）若AD=，當(dāng)a=2時(shí)，如答圖2所示．

設(shè)AB與DF、EF分別交于點(diǎn)M、N．
∵△DEF為等邊三角形，∴∠MDE=60°，
由（1）知∠CDE=60°，
∴∠ADM=180°-∠MDE-∠CDE=60°，
又∵∠A=60°，
∴△ADM為等邊三角形，
∴DM=AD=．
過(guò)點(diǎn)M作MG∥AC，交DE于點(diǎn)G，則∠DMG=∠ADM=60°，
∴△DMG為等邊三角形，
∴DG=MG=DM=．
∴GE=DE-DG=2-=．
∵∠MGD=∠E=60°，∴MG∥NE，
又∵DE∥AB，
∴四邊形MGEN為平行四邊形．
∴NE=MG=，MN=GE=．
∴T=DE+DM+MN+NE=2+++=．

（3）若點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)處，分情況討論如下：
①若0＜a≤，△DEF在△ABC內(nèi)部，如答圖3所示：

∴T=3a；
②若＜a≤，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)部，點(diǎn)F在△ABC外部，在如答圖4所示：

設(shè)AB與DF、EF分別交于點(diǎn)M、N，過(guò)點(diǎn)M作MG∥AC交DE于點(diǎn)G．
與（2）同理，可知△ADM、△DMG均為等邊三角形，四邊形MGEN為平行四邊形．
∴DM=DG=NE=AD=，MN=GE=DE-DG=a-，
∴T=DE+DM+MN+NE=a++（a-）+=2a+；
③若＜a＜3，點(diǎn)E、F均在△ABC外部，如答圖5所示：

設(shè)AB與DF、EF分別交于點(diǎn)M、N，BC與DE、EF分別交于點(diǎn)P、Q．
在Rt△PCD中，CD=，∠CDP=60°，∠DPC=30°，
∴PC=CD•tan60°=×=．
∵∠EPQ=∠DPC=30°，∠E=60°，∴∠PQE=90°．
由（1）知，點(diǎn)E到AC的距離為a，∴PQ=a-．
∴QE=PQ•tan30°=（a-）×=a-，PE=2QE=a-．
由②可知，四邊形MDEN的周長(zhǎng)為2a+．
∴T=四邊形MDEN的周長(zhǎng)-PE-QE+PQ=（2a+）-（a-）-（a-）+（a-）=a+-．
綜上所述，若點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)處，T的關(guān)系式為：
T=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了運(yùn)動(dòng)型綜合題，新穎之處在于所求是重疊部分的周長(zhǎng)而非面積．難點(diǎn)在于第（3）問(wèn)，根據(jù)題意，可能的情形有三種，需要分類討論，避免漏解．