【題目】如圖，在菱形中，，點將對角線三等分，且，連接.

（1）求證：四邊形為菱形

（2）求菱形的面積；

（3）若是菱形的邊上的點，則滿足的點的個數(shù)是______個.

【答案】（1）見解析；（2）；（3）8

【解析】

（1）根據(jù)題意證明△AED≌△AEB≌△CFD≌△CFB，得到四邊相等即可證明是菱形；

（2）求出菱形的對角線的長，利用菱形的面積等于對角線乘積的一半解決問題即可．

（3）不妨假設(shè)點P在線段AD上，作點E關(guān)于AD的對稱點E′，連接FE′交AD于點P，此時PE＋PF的值最�。蟪�PE＋PF的最值，判斷出在線段AD上存在兩個點P滿足條件，由此即可判斷．

（1）∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD≡AB=CD=CB，∠DAE=∠BAE=∠DCF=∠BCF，

∴△AED≌△AEB≌△CFD≌△CFB（SAS）

∴DE=BE=DF=BF,

∴四邊形DEBF為菱形.

（2）連接DB，交AC于O，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴DB⊥AC，，

又∵AE=EF=FC=2，

∴AO=3，AD=2DO，

∴，∴，

∴

（3）不妨假設(shè)點P在線段AD上，作點E關(guān)于AD的對稱點E′，連接FE′交AD于點P，此時PE＋PF的值最�。�

易知PE＋PF的最小值＝2

當點P由A運動到D時，PE＋PF的值由最大值6減小到2再增加到4，

∵PE＋PE＝，2＜＜4，

∴線段AD上存在兩個點P，滿足PE＋PF＝

∴根據(jù)對稱性可知：菱形ABCD的邊上的存在8個點P滿足條件．

故答案為8．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

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【題目】在郴州市的日常工作中，灑水車每天都在國慶路上來回灑水．我們約定灑水車在行駛過程中，向北的行程記為正數(shù)，向南的行程記為負數(shù)．2017年8月20日這一天，某臺灑水車市政工程處出發(fā)，所走的路程（單位：千米）為：+5，+7.5，－8，－3，+9.5，+2.5，－11，－3.5．問：

（1）這天收工時，這臺灑水車離市政工程處多遠？它在市政工程處的南邊還是北邊？

（2）若灑水車每走1千米耗油0.2升，請問這一天這臺灑水車在灑水過程中耗油多少升？

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【題目】如圖，已知一次函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象交于點，且與軸交于點．

(1)直接寫出點的坐標為 ；點的坐標為 ；

(2)過點作軸于點，過點作直線l∥y軸．動點從點出發(fā)，以每秒個單位長的速度，沿的路線向點運動；同時直線從點出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過程中，直線交軸于點，交線段或線段于點．當點到達點時，點和直線都停止運動．在運動過程中，設(shè)動點運動的時間為秒．

當為何值時，以、、為頂點的三角形的面積為；

是否存在以、、為頂點的三角形是等腰三角形?若存在，直接寫出的值；若不存在，請說明理由．

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【題目】如圖，BD為△ABC外接圓⊙O的直徑，且∠BAE=∠C．

（1）求證：AE與⊙O相切于點A；

（2）若AE∥BC，BC=2，AC=2，求AD的長．

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【題目】某市團委舉辦“我的中國夢”為主題的知識競賽，甲、乙兩所學校參賽人數(shù)相等，比賽結(jié)束后，發(fā)現(xiàn)學生成績分別為70分、80分、90分、100分，并根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)繪制了如下不完整的統(tǒng)計圖表：

乙校成績統(tǒng)計表

分數(shù)/分

人數(shù)/人

70

7

80

90

1

100

8

(1)在圖①中，“80分”所在扇形的圓心角度數(shù)為________；

(2)請你將圖②補充完整；

(3)求乙校成績的平均分；

(4)經(jīng)計算知s甲2＝135，s乙2＝175，請你根據(jù)這兩個數(shù)據(jù)，對甲、乙兩校成績作出合理評價．

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【題目】初三年級學習壓力大，放學后在家自學時間較初一、初二長，為了解學生學習時間，該年級隨機抽取25%的學生問卷調(diào)查，制成統(tǒng)計表和扇形統(tǒng)計圖，請你根據(jù)圖表中提供的信息回答下列問題：

學習時間(h)

1

1.5

2

2.5

3

3.5

人數(shù)

72

36

54

18

（1）初三年級共有學生_____人．

（2）在表格中的空格處填上相應(yīng)的數(shù)字．

（3）表格中所提供的學生學習時間的中位數(shù)是_____，眾數(shù)是_____．

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【題目】如圖，在中，，點P從點A開始，沿AB向點B以的速度移動，點Q從B點開始沿BC以的速度移動，如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)：

幾秒后四邊形APQC的面積是31平方厘米；

若用S表示四邊形APQC的面積，在經(jīng)過多長時間S取得最小值？并求出最小值．

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【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC>BC，BD 是AC邊上的高，點C關(guān)于直線BD的對稱點為點E，連接BE.

(1)①依題意補全圖形；

②若∠BAC=，求∠DBE的大�。ㄓ煤�的式子表示）；

(2)若DE=2AE，點F是BE中點，連接AF，BD=4，求AF的長.

　　

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【題目】為了倡導“全民閱讀”，某校為調(diào)查了解學生家庭藏書情況，隨機抽取本校部分學生進行調(diào)查，并繪制成統(tǒng)計圖表如下：

學生家庭藏書情況扇形統(tǒng)計圖

類別

家庭藏書（本）

學生人數(shù)

16

50

70

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）共抽樣調(diào)查了______名學生，______；

（2）在扇形統(tǒng)計圖中，“”對應(yīng)扇形的圓心角為_______；

（3）若該校有2000名學生，請估計全校學生中家庭藏書超過60本的人數(shù).

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