Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)⊙T外一點(diǎn)P引它的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為M，N，若，則稱(chēng)P為⊙T的環(huán)繞點(diǎn)．

(1)當(dāng)⊙O半徑為1時(shí)，

①在中，⊙O的環(huán)繞點(diǎn)是___________;

②直線(xiàn)y=2x+b與x軸交于點(diǎn)A，y軸交于點(diǎn)B，若線(xiàn)段AB上存在⊙O的環(huán)繞點(diǎn)，求b的取值范圍；

（2）⊙T的半徑為1，圓心為（0，t），以為圓心，為半徑的所有圓構(gòu)成圖形H，若在圖形H上存在⊙T的環(huán)繞點(diǎn)，直接寫(xiě)出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①.②b的取值范圍為或.（2）

【解析】

（1）①根據(jù)環(huán)繞點(diǎn)的定義及作圖找到即可判斷；

②當(dāng)點(diǎn)B在y軸正半軸上時(shí)，根據(jù)環(huán)繞點(diǎn)的定義考慮以下兩種特殊情況：線(xiàn)段AB與半徑為2的⊙O相切時(shí)，與當(dāng)點(diǎn)B經(jīng)過(guò)半徑為1的⊙O時(shí)，分別求出此時(shí)的OB的長(zhǎng)，即可得到可得b的取值范圍，再由點(diǎn)B在y軸負(fù)半軸上時(shí)同理可得b的取值；

（3）根據(jù)題意作出圖形，求出OS與x軸正半軸的夾角為30°，得∠BOC=60°，圖形H為射線(xiàn)OB與射線(xiàn)OC圍成的一個(gè)扇形區(qū)域（不包括點(diǎn)O，半徑可無(wú)窮大），分當(dāng)t≥0與t＜0時(shí)，根據(jù)環(huán)繞點(diǎn)的定義進(jìn)行求解.

（1）①如圖，

∵P1在圓上，故不是環(huán)繞點(diǎn)，

P2引圓兩條切線(xiàn)的夾角為90°，滿(mǎn)足，故為⊙O的環(huán)繞點(diǎn)

P3（0,2），∵P3O=2OM，∠P3MO=90°，∴∠MOP3=30°，

同理：∠NOP3=30°，∴，故為⊙O的環(huán)繞點(diǎn)

故填：；

②半徑為1的⊙O的所有環(huán)繞點(diǎn)在以O為圓心，半徑分別為1和2的兩個(gè)圓之間（如下圖陰影部分所示，含大圓，不含小圓）.

ⅰ)當(dāng)點(diǎn)B在y軸正半軸上時(shí)，如圖1，圖2所示.

考慮以下兩種特殊情況：線(xiàn)段AB與半徑為2的⊙O相切時(shí)，；

當(dāng)點(diǎn)B經(jīng)過(guò)半徑為1的⊙O時(shí)，OB=1.

因?yàn)榫�(xiàn)段AB上存在⊙O的環(huán)繞點(diǎn)，所以可得b的取值范圍為 ；

②當(dāng)點(diǎn)B在y軸負(fù)半軸上時(shí)，如圖3，圖4所示.

同理可得b的取值范圍為 .

綜上，b的取值范圍為或.

（3）點(diǎn)記為S,設(shè)OS與x軸正半軸的夾角為a

∵tana=

∴a=30°，

如圖，圓S與x軸相切，過(guò)O點(diǎn)作⊙S的切線(xiàn)OC，

∵OC、OB都是⊙S的切線(xiàn)

∴∠BOC=2∠SOB=60°，

當(dāng)m取遍所有整數(shù)時(shí) ，就形成圖形H，

圖形H為射線(xiàn)OB與射線(xiàn)OC圍成的一個(gè)扇形區(qū)域（不包括點(diǎn)O，半徑可無(wú)窮大）

當(dāng)t≥0時(shí)，過(guò)T作OC的垂線(xiàn)，垂足為M，當(dāng)TM＞2時(shí)，圖形H不存在環(huán)繞點(diǎn)，OT=2TM，故t≤4，

當(dāng)t＜0時(shí)，圖形H上的點(diǎn)到T的距離都大于OT,當(dāng)OT≥2時(shí)，圖形H不存在⊙T環(huán)繞點(diǎn)，因此t＞-2，

綜上：.