Question

【題目】探究;

（）如圖， 、為的邊、上的兩定點(diǎn)，在上求作一點(diǎn)，使的周長(zhǎng)最短．（不寫(xiě)作法）

（）如圖，矩形中， ， ， 、分別為邊、的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別為、上的動(dòng)點(diǎn)，求四邊形周長(zhǎng)的最小值．

（）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，在邊、、上分別確定點(diǎn)、、．使得四邊形周長(zhǎng)最小，并求出最小值．

Answer 1

【答案】（1）作圖見(jiàn)解析；（2）；（3）．

【解析】（1）

試題分析：（1）利用軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)，作點(diǎn)P關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′，連接P′Q，交BC于點(diǎn)M，則M是所求的點(diǎn)；（2）如圖，延長(zhǎng)EB至E'使E' B=EB，延長(zhǎng)FD至F'使F' D=FD，連接E' F'交BC、CD于M、N．此時(shí)四邊形EFNM周長(zhǎng)最�。�根據(jù)勾股定理求得EF、E' F'的長(zhǎng)，即可得四邊形OMNP周長(zhǎng)的最小值；（3）如圖，延長(zhǎng)到使，延長(zhǎng)至使．作關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，連接交、于、．連交于，即為周長(zhǎng)最小．根據(jù)正方形的性質(zhì)和軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)易得、、為各邊中點(diǎn)，所以四邊形周長(zhǎng)的最小值為．

試題解析：

（）如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，點(diǎn)是所求的點(diǎn)．

（）如圖，延長(zhǎng)至使，延長(zhǎng)至使，連接交、于、．此時(shí)四邊形周長(zhǎng)最小．

周長(zhǎng) ．

（）如圖，延長(zhǎng)到使，延長(zhǎng)至使．

作關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，連接交、于、．

連交于，即為周長(zhǎng)最�。�

易得、、為各邊中點(diǎn)，周長(zhǎng)為．