Question

如圖1，拋物線y=x²的頂點(diǎn)為P，A、B是拋物線上兩點(diǎn)，AB∥x軸，四邊形ABCD為矩形，CD邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，AB=2AD．
（1）求矩形ABCD的面積；
（2）如圖2，若將拋物線“y=x²”，改為拋物線“y=x²+bx+c”，其他條件不變，請(qǐng)猜想矩形ABCD的面積；
（3）若將拋物線“y=x²+bx+c”改為拋物線“y=ax²+bx+c”，其他條件不變，請(qǐng)猜想矩形ABCD的面積．（用a、b、c表示，并直接寫出答案）
附加題：若將題中“y=x²”改為“y=ax²+bx+c”，“AB=2AD”條件不要，其他條件不變，探索矩形ABCD面積為常數(shù)時(shí)，矩形ABCD需要滿足什么條件并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)AD=m．得出AB=2m，因?yàn)閽佄锞�是軸對(duì)稱圖形，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)．然后易求矩形ABCD的面積．
（2）設(shè)拋物線y=x²+bx+c．設(shè)AD=m，AB=2m，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)為（h-m，n+m），然后可求出矩形ABCD的面積．
（3）設(shè)拋物線y=ax²+bx+c，設(shè)AD=m，=k得出AB=km，求出矩形ABCD面積的表達(dá)式即可推論．
解答：解：（1）設(shè)AD=m，
∵AB=2AD，
∴AB=2m，又拋物線是軸對(duì)稱圖形，
∴PD=m．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-m，m），
∴m²=m，
又∵m≠0，
∴m=1
∴矩形ABCD的面積為1×2=2．

（2）設(shè)拋物線y=x²+bx+c=（x-h）²+n，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（h，n），
設(shè)AD=m，
∵AB=2AD，
∴AB=2m，
又∵拋物線是軸對(duì)稱圖形，
∴PD=m，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（h-m，n+m），
∴n+m=（h-m-h）²+n，
∴m=m²，
又∵m≠0，
∴m=1，
∴矩形ABCD的面積為1×2=2．

（3）

附加題：
解：為常數(shù)，
設(shè)拋物線y=ax²+bx+c=a（x-h）²+n，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（h，n），
設(shè)AD=m，=k，
∴AB=km，
又∵拋物線是軸對(duì)稱圖形，
∴PD=
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（），
∴n+m=a（h--h）²+n，
∴m=，
又∵m≠0，
∴m=，
∴矩形ABCD的面積為km²=
∵a為常數(shù)，
∴k為常數(shù)時(shí)，矩形ABCD的面積為常數(shù)，
即為常數(shù)時(shí)，矩形ABCD的面積為常數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)以及矩形ABCD面積的計(jì)算公式，難度較大．