Question

【題目】如圖，AB是的直徑，點(diǎn)C、D在上，且AD平分，過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線(xiàn)，與AC的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于E，與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)F，G為AB的下半圓弧的中點(diǎn)，DG交AB于H，連接DB、GB．

證明EF是的切線(xiàn)；

求證：；

已知圓的半徑，，求GH的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）.

【解析】

（1）由題意可證OD∥AE，且EF⊥AE，可得EF⊥OD，即EF是⊙O的切線(xiàn)；（2）由同弧所對(duì)的圓周角相等，可得∠DAB＝∠DGB，由余角的性質(zhì)可得∠DGB＝∠BDF；（3）由題意可得∠BOG＝90°，根據(jù)勾股定理可求GH的長(zhǎng)．

解：（1）證明：連接OD，

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA

又∵AD平分∠BAC，

∴∠OAD＝∠CAD

∴∠ODA＝∠CAD，

∴OD∥AE，

又∵EF⊥AE，

∴OD⊥EF，

∴EF是⊙O的切線(xiàn)

（2）∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°

∴∠DAB+∠OBD＝90°

由（1）得，EF是⊙O的切線(xiàn)，

∴∠ODF＝90°

∴∠BDF+∠ODB＝90°

∵OD＝OB，

∴∠ODB＝∠OBD

∴∠DAB＝∠BDF

又∠DAB＝∠DGB

∴∠DGB＝∠BDF

（3）連接OG，

∵G是半圓弧中點(diǎn)，

∴∠BOG＝90°

在Rt△OGH中，OG＝5，OH＝OB﹣BH＝5﹣3＝2．

∴GH＝＝.