Question

（2013•濱湖區(qū)二模）如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)A（-5，0），交y軸于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥y軸交函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象于點(diǎn)C（-2，4）．

（1）設(shè)函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，求△ABD的面積．
（2）若P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA、PC，分別過(guò)A、C作PC、PA的平行線交于點(diǎn)Q，連接PQ．試探究：
①是否存在這樣的點(diǎn)P，使得PQ²=PA²+PC²？為什么？
②是否存在這樣的點(diǎn)P，使得PQ取得最小值？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）首先利用二次函數(shù)對(duì)稱性得出對(duì)稱軸，進(jìn)而得出D點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出三角形面積；
（2）①首先得出四邊形OAQC為平行四邊形，若PQ²=PA²+PC²，則PQ²=PA²+AQ²，則∠PAQ=90°即∠APC=90°，進(jìn)而得出△PAO∽△CPB，以及

PO

CB

=

AO

PB

，得出這樣的點(diǎn)不存在；
②利用PQ取得最小值時(shí)，MP必定取得最小值，求出MP，的長(zhǎng)，即可得出答案．

解答：解：（1）由題意知B（0，4），
∵C（-2，4），則拋物線對(duì)稱軸為：x=-1，
根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知：D（3，0）． 
∴S_△ABD=

1

2

×8×4=16．

（2）①不存在這樣的點(diǎn)P，使得PQ²=PA²+PC²．
理由如下：
∵AQ∥PC，CQ∥PA，
∴四邊形OAQC為平行四邊形．∴PC=AQ．
若PQ²=PA²+PC²，則PQ²=PA²+AQ²，
∴∠PAQ=90°．∴∠APC=90°．
若∠APC=90°，
則當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上時(shí)，可得△PAO∽△CPB．
∴

PO

CB

=

AO

PB

．
設(shè)OP=m，則

m

2

=

5

4-m

，
即m²-4m+10=0．這個(gè)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．
而當(dāng)P點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上或在OB的延長(zhǎng)線時(shí)，∠APC=90°顯然不可能成立． 
綜上所述，可得：不存在這樣的點(diǎn)P，使得PQ²=PA²+PC²． 

②連接AC交PQ于點(diǎn)M，如圖所示．
∵四邊形PAQC為平行四邊形，
∴M為AC、PQ的中點(diǎn)．
PQ取得最小值時(shí)，MP必定取得最小值．
顯然，當(dāng)P為OB的中點(diǎn)時(shí)，由梯形中位線定理可得MP∥CB，
∴MP⊥y軸．
此時(shí)MP取得最小值為：

1

2

×（2+5）=

7

2

．
∴PQ的最小值為7．
 PQ取得最小值時(shí)，P（0，2）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及平行四邊形的性質(zhì)和判定以及梯形的性質(zhì)等知識(shí)，利用點(diǎn)到直線的距離得出MP的最小值是解題關(guān)鍵．