Question

【題目】如圖，已知正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為2，將正方形紙片折疊，使頂點(diǎn)A落在邊CD上的點(diǎn)P處（點(diǎn)P與C、D不重合），折痕為EF，折疊后AB邊落在PQ的位置，PQ與BC交于點(diǎn)G．

（1）觀察操作結(jié)果，找到一個(gè)與△EDP相似的三角形，并證明你的結(jié)論；

（2）當(dāng)點(diǎn)P位于CD中點(diǎn)時(shí)，你找到的三角形與△EDP周長(zhǎng)的比是多少？

Answer 1

【答案】（1）與△EDP相似的三角形是△PCG．證明見(jiàn)解析；（2）4：3．

【解析】分析：（1）根據(jù)題意，∠EPG=90°，可得∠EPD+∠CPG=90°，又∠EPD+∠PED=90°，所以∠CPG=∠PED．加上∠C=∠D，可得△EDP∽△PCG；
（2）根據(jù)相似三角形性質(zhì)求解．因?yàn)?/span>CP=1，所以需求對(duì)應(yīng)邊DE的長(zhǎng)度．設(shè)DE=x，則AE=EP=2-x，根據(jù)勾股定理可求．

詳解：（1）與△EDP相似的三角形是△PCG．

證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠A=∠C=∠D=90°．

由折疊知∠EPQ=∠A=90°．

∴∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°．

∴∠2=∠3．

∴△PCG∽△EDP．

（2）設(shè)ED=x，則AE=2﹣x，

由折疊可知：EP=AE=2﹣x．

∵點(diǎn)P是CD中點(diǎn)，

∴DP=1．

∵∠D=90°，

∴ED2+DP2=EP2，

即x2+12=（2﹣x）2

解得x=．

∴．

∵△PCG∽△EDP，

∴．

∴△PCG與△EDP周長(zhǎng)的比為4：3．