已知:如圖,平面直角坐標(biāo)系xOy中,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,它的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上運(yùn)動(dòng),頂點(diǎn)D在y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)A,D都不與原點(diǎn)重合),頂點(diǎn)B,C都在第一象限,且對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)P,連接OP.
(1)當(dāng)OA=OD時(shí),點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)_____,∠POA=______°;
(2)當(dāng)OA<OD時(shí),求證:OP平分∠DOA;
(3)設(shè)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d,則在點(diǎn)A,D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,d的取值范圍是什么?

(1)解:∵四邊形ABCD為正方形,
∴△ADP是等腰直角三角形,
又∵OA=OD,
∴△AOD是等腰直角三角形,
∴四邊形AODP是正方形,
∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,
∴AC=BD==4,
∴AP=DP=×4=2,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,2),∠POA=45°;

(2)證明:如圖,過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M,PN⊥y軸于點(diǎn)N,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴PD=PA,∠DPA=90°,
∵PM⊥x軸于點(diǎn)M,PN⊥y軸于點(diǎn)N,
∴∠PMO=∠PNO=∠PND=90°,
∵∠NOM=90°,
∴四邊形NOMP中,∠NPM=90°,
∴∠DPA=∠NPM,
∵∠1=∠DPA-∠NPA,∠2=∠NPM-∠NPA,
∴∠1=∠2,
∵在△DPN和△APM中,
,
∴△DPN≌△APM(AAS),
∴PN=PM,
∴OP平分∠DOA;

(3)解:當(dāng)A、O重合時(shí),點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離最小,
d=×4=2,
當(dāng)OA=OD時(shí),點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離最大,d=PD=2
∵點(diǎn)A,D都不與原點(diǎn)重合,
∴2<d≤2
分析:(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)求出△ADP是等腰直角三角形,再判斷出△AOD是等腰直角三角形,再求出四邊形AODP是正方形,然后根據(jù)正方形的性質(zhì)求出AP=DP=2,寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可;
(2)過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M,PN⊥y軸于點(diǎn)N,根據(jù)正方形的對(duì)角線互相平分且相等可得PD=PA,再根據(jù)同角的余角相等求出∠1=∠2,然后利用“角角邊”證明△DPN和△APM全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得PM=PN,然后利用到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上證明即可;
(3)根據(jù)垂線段最短,A、O重合時(shí),點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離最小,為正方形ABCD邊長(zhǎng)的一半,OA=OD時(shí)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離最大,為PD的長(zhǎng)度,即可得解.
點(diǎn)評(píng):本題考查了正方形的性質(zhì),坐標(biāo)與圖形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的判定,(2)作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵,(2)根據(jù)垂線段最短判斷出最小與最大值的情況是解題的關(guān)鍵.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知:如圖,平面直角坐標(biāo)系中,半圓的直徑AB在x軸上,圓心為D.半圓交y軸于點(diǎn)C,AC=2
5
,精英家教網(wǎng)BC=4
5

(1)證明:△AOC∽△ACB;
(2)求以AO、BO兩線段長(zhǎng)為根的一元二次方程;
(3)求圖象經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的二次函數(shù)的表達(dá)式;
(4)設(shè)此拋物線的頂點(diǎn)為E,連接EC,試判斷直線EC與⊙O的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.

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已知,如圖:平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=-x2+2x+c的圖象與x軸分別交于點(diǎn)A精英家教網(wǎng)、B,其中點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè),拋物線圖象與y軸交于點(diǎn)C,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)D(2,3).
(1)求c值;
(2)求直線BC的解析式;
(3)動(dòng)點(diǎn)M在線段CB上由點(diǎn)C向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)M不與點(diǎn)C、B重合),以O(shè)M為邊在y軸右側(cè)做正方形OMNF.設(shè)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度為
2
個(gè)單位/秒,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t.求以O(shè)、M、N、B、F為頂點(diǎn)的五邊形面積與t的函數(shù)關(guān)系式.

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已知:如圖在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線AB分別與x,y軸交于點(diǎn)B、A,與反比例函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)C、D,CE⊥x軸于點(diǎn)E,OA=3,OB=6,OE=2.
(1)求直線AB的解析式;
(2)求該反比例函數(shù)的解析式.

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(1)求直線y=mx(m≠0)的解析式;
(2)若直線y=kx+b(k≠0)與另一條直線y=2x交于點(diǎn)B,且點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-4,求△ABO的面積.

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(1)當(dāng)OA=OD時(shí),點(diǎn)D的坐標(biāo)為
(0,2
2
(0,2
2
,∠POA=
45
45
°;
(2)當(dāng)OA<OD時(shí),求證:OP平分∠DOA;
(3)設(shè)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d,則在點(diǎn)A,D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,d的取值范圍是什么?

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