Question

如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，點B坐標(biāo)為（3，0）頂點P的坐標(biāo)為（1，-4），以AB為直徑作圓，圓心為D，過P向右側(cè)作⊙D的切線，切點為C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）請通過計算判斷拋物線是否經(jīng)過點C；
（3）設(shè)M，N 分別為x軸，y軸上的兩個動點，當(dāng)四邊形PNMC的周長最小時，請直接寫出M，N兩點的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）可設(shè)頂點式，將頂點為A（1，-4），點B（3，0）代入求出拋物線的解析式；
（2）首先求出D點坐標(biāo)，再利用CD等于圓O半徑為AB=2，由cos∠PDC==，得出C點坐標(biāo)即可，進而判斷拋物線是否經(jīng)過點C即可；
（3）作C關(guān)于x軸對稱點C′，P關(guān)于y軸對稱點P′，連接P′C′，與x軸，y軸交于M、N點，此時四邊形PNMC周長最小，求出直線P′C′的解析式，求出圖象與坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)即可．
解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-h）²+k把h=1，k=-4，代入得；
y=a（x-1）²-4，
把x=3，y=0代入y=a（x-1）²-4，
解得a=1，
∴拋物線的解析式為：y=（x-1）²-4，
即：y=x²-2x-3；

（2）作拋物線的對稱軸，
把y=0代入y=x²-2x-3解得 x₁=-1，x₂=3，
∴A 點坐標(biāo)為（-1，0），
∴AB=|3-（-1）|=4，
∴OD=2-1=1，
∴D點坐標(biāo)為（1，0），
而拋物線的對稱軸為直線x=1，
∴點D在直線x=1上，
過點C作CE⊥PD，CF⊥x軸，垂足分別為E，F(xiàn)，連接DC，
∵PC是⊙D的切線，
∴PC⊥DC，
在Rt△PCD中
∵cos∠PDC==，∴∠PDC=60°，
解直角三角形CDE，可得DE=1，CE=，
∴C點坐標(biāo)為（+1，-1），
把x=代入y=x²-2x-3得：y=-1，
∴點C在拋物線上；

（3）如圖2，作點C關(guān)于x軸的對稱點C′，點P關(guān)于y軸的對稱點P′，連接P′C′，分別交x軸，y軸于M，N兩點，
此時四邊形PNMC的周長最小，
∵C點坐標(biāo)為（+1，-1），
∴C′點坐標(biāo)為（+1，1），
∵P的坐標(biāo)為（1，-4），
∴P′的坐標(biāo)為（-1，-4），
代入y=kx+b中，
，
解得：，
則直線P′C′的解析式為：y=（-5+10）x-5+6，
當(dāng)x=0，y=-5+6，
故N點坐標(biāo)為：（0，-5+6），
當(dāng)y=0，則0=（-5+10）x-5+6，
解得：x=，
故M點坐標(biāo)為：（，0）．
點評：本題考查了用頂點式求出二次函數(shù)的解析式以及利用對稱性求出四邊形最小值，利用軸對稱找到M，N的位置是解題關(guān)鍵．