Question

【題目】如圖，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線y=﹣x2+2mx（m＞0）與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A．過(guò)點(diǎn)P（1，m）作直線PM⊥x軸于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)B，記點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為C（點(diǎn)B，點(diǎn)C不重合）．連接CB，CP．

（1）當(dāng)m= 時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)及BC的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)m＞1時(shí)，連接CA，當(dāng)CA⊥CP時(shí)，求m的值；
（3）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥PC且PE=PC，問(wèn)是否存在m，使得點(diǎn)E恰好落在坐標(biāo)軸上？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當(dāng)m= 時(shí)，y=﹣x2+5x；

令y=0，得﹣x2+5x=0．

∴x1=0，x2=5，

∴A（5，0）．

當(dāng)x=1時(shí)，y=4，

∴B（1，4）．

∵拋物線y=﹣x2+5x的對(duì)稱軸為直線x= ，

又∵點(diǎn)B，C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，

∴BC=3

（2）

解：過(guò)點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H（如圖）．

由已知得∠ACP=∠BCH=90°

∴∠ACH=∠PCB．

又∵∠AHC=∠PBC=90°，

tan∠ACH=tan∠PCB．

∴ ．

∵拋物線y=﹣x2+2mx的對(duì)稱軸為直線x=m，其中m＞1，

又∵B，C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，

∴BC=2（m﹣1）．

∵B（1，2m﹣1），P（1，m），

∴BP=m﹣1．

又∵A（2m，0），C（2m﹣1，2m﹣1），

∴H（2m﹣1，0）．

∴AH=1，CH=2m﹣1．

∴ ，

∴m= ；

（3）

解：存在．

∵B，C不重合，

∴m≠1，分兩種情況：

①當(dāng)m＞1時(shí)，m=2，相對(duì)應(yīng)的E點(diǎn)坐標(biāo)是（2，0）或（0，4）；

②當(dāng)0＜m＜1時(shí)，m= ．，相對(duì)應(yīng)的E點(diǎn)坐標(biāo)是（ ，0）；

∴E點(diǎn)坐標(biāo)是（2，0）或（0，4）或（ ，0）

【解析】（1）把m= ，代入拋物線的解析式，令y=0解方程，得到的非0解即為和x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再求出拋物線的對(duì)稱軸方程，進(jìn)而求出BC的長(zhǎng)；（2）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H（如圖1）由已知得∠ACP=∠BCH=90°，利用已知條件證明△ACH∽△PCB，根據(jù)相似的性質(zhì)得到： ，再用含有m的代數(shù)式表示出BC，CH，BP，代入比例式即可求出m的值；（3）存在，本題要分當(dāng)m＞1時(shí)，BC=2（m﹣1），PM=m，BP=m﹣1和當(dāng)0＜m＜1時(shí)，BC=2（1﹣m），PM=m，BP=1﹣m，兩種情況分別討論，再求出滿足題意的m值和相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)E坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解相似三角形的應(yīng)用(測(cè)高：測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常用“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成比例”的原理解決；測(cè)距：測(cè)量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的舉例，常構(gòu)造相似三角形求解)．