Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，直線EF分別交兩直角邊AB、BC與E、F兩點(diǎn)，且EF∥AC，P是斜邊AC的中點(diǎn)，連接PE，PF，且AB= ，BC= ．

（1）當(dāng)E、F均為兩直角邊的中點(diǎn)時(shí)，求證：四邊形EPFB是矩形，并求出此時(shí)EF的長；
（2）設(shè)EF的長度為x（x＞0），當(dāng)∠EPF=∠A時(shí)，用含x的代數(shù)式表示EP的長；
（3）設(shè)△PEF的面積為S，則當(dāng)EF為多少時(shí)，S有最大值，并求出該最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，

∵E是AB的中點(diǎn)，P是AC的中點(diǎn)，

∴EP∥BC，且EP= BC，

∵F是BC的中點(diǎn)，

∴EP∥BF，且EP=BF，

四邊形EPFB是平行四邊形，

∵∠B=90°，

∴四邊形EPFB是矩形

（2）

解：∵AB= ，BC= ．

∴BE= ，BF= ，

∴EF= =1．（2）∵EF∥AC，

∴∠APE=∠PEF，∵∠EPF=∠A，

∴△APE∽△PEF．

∴ ，

∵AP=1，EF=x，

∴EP2=x，

∴EP=

（3）

解：如圖2，作FH⊥AC交AC于點(diǎn)H，

∵EF∥AC，

∴△BEF∽△BAC，

設(shè)EF=x，則BF= x，CF= ﹣ x，

∴FH= CF= ﹣ x，

∴S= EFFH=﹣ x2+ x=﹣ （x﹣1）2+ ，

∴當(dāng)x=1，即EF=1時(shí)，S有最大值為 ．

【解析】（1）先求出四邊形EPFB是平行四邊形，再由∠B=90°得出四邊形EPFB是矩形，利用勾股定理求出EF．（2）證明△APE∽△PEF，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得出結(jié)果．（3）作FH⊥AC交AC于點(diǎn)H，設(shè)EF=x，得出BF，CF及FH的值，再利用三角形面積求出EF及最大值，利用中位線定理即可求出EP的值．