Question

【題目】如圖，直線l：y=﹣3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，拋物線（a＜0）經(jīng)過點(diǎn)B．

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）已知點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并且點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，連接AM、BM，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，△ABM的面積為S，求S與m的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)S取得最大值時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M相應(yīng)的位置記為點(diǎn)M′．

①寫出點(diǎn)M′的坐標(biāo)；

②將直線l繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到直線l′，當(dāng)直線l′與直線AM′重合時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，直線l′與線段BM′交于點(diǎn)C，設(shè)點(diǎn)B、M′到直線l′的距離分別為d1、d2，當(dāng)d1+d2最大時(shí)，求直線l′旋轉(zhuǎn)的角度（即∠BAC的度數(shù)）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）S=，當(dāng)m=時(shí)，S取得最大值；（3）①M′（，）；②45°．

【解析】

試題分析：（1）利用直線l的解析式求出B點(diǎn)坐標(biāo)，再把B點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式即可求出a的值；

（2）設(shè)M的坐標(biāo)為（m，），然后根據(jù)面積關(guān)系將△ABM的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化；

（3）①由（2）可知m=，代入二次函數(shù)解析式即可求出縱坐標(biāo)的值；

②可將求d1+d2最大值轉(zhuǎn)化為求AC的最小值．

試題解析：（1）令x=0代入y=﹣3x+3，∴y=3，∴B（0，3），把B（0，3）代入，∴3=a+4，∴a=﹣1，∴二次函數(shù)解析式為：；

（2）令y=0代入，∴，∴x=﹣1或3，∴拋物線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為﹣1和3，∵M在拋物線上，且在第一象限內(nèi)，∴0＜m＜3，令y=0代入y=﹣3x+3，∴x=1，∴A的坐標(biāo)為（1，0），由題意知：M的坐標(biāo)為（m，），S=S四邊形OAMB﹣S△AOB

=S△OBM+S△OAM﹣S△AOB=×m×3+×1×（）﹣×1×3=，∵S==，∴當(dāng)m=時(shí)，S取得最大值．

（3）①由（2）可知：M′的坐標(biāo)為（，）；

②過點(diǎn)M′作直線l1∥l′，過點(diǎn)B作BF⊥l1于點(diǎn)F，根據(jù)題意知：d1+d2=BF，此時(shí)只要求出BF的最大值即可，∵∠BFM′=90°，∴點(diǎn)F在以BM′為直徑的圓上，設(shè)直線AM′與該圓相交于點(diǎn)H，∵點(diǎn)C在線段BM′上，∴F在優(yōu)弧上，∴當(dāng)F與M′重合時(shí)，BF可取得最大值，此時(shí)BM′⊥l1，∵A（1，0），B（0，3），M′（，），∴由勾股定理可求得：AB=，M′B=，M′A=，過點(diǎn)M′作M′G⊥AB于點(diǎn)G，設(shè)BG=x，∴由勾股定理可得：，∴，∴x=，cos∠M′BG==，∵l1∥l′，∴∠BCA=90°，∠BAC=45°；

方法二：過B點(diǎn)作BD垂直于l′于D點(diǎn)，過M點(diǎn)作ME垂直于l′于E點(diǎn)，則BD=d1，ME=d2，∵S△ABM=×AC×（d1+d2），當(dāng)d1+d2取得最大值時(shí)，AC應(yīng)該取得最小值，當(dāng)AC⊥BM時(shí)取得最小值．

根據(jù)B（0，3）和M′（，）可得BM′=，∵S△ABM=×AC×BM′=，∴AC=，當(dāng)AC⊥BM′時(shí)，cos∠BAC===，∴∠BAC=45°．