Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，且AB為⊙O的直徑，OD⊥AB，與AC交于點E，與過點C的⊙O的切線交于點D．

（1）若AC=4，BC=2，求OE的長．

（2）試判斷∠A與∠CDE的數(shù)量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）∠CDE=2∠A．

【解析】

試題分析：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得到AB的長，從而得到半徑AO ．再由△AOE∽△ACB，得到OE的長；

（2）連結OC，得到∠1=∠A，再證∠3=∠CDE，從而得到結論．

試題解析：（1）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB===，∴AO=AB= ．∵OD⊥AB，∴∠AOE=∠ACB=90°，又∵∠A=∠A，∴△AOE∽△ACB，∴，∴OE===.

（2）∠CDE=2∠A．理由如下：

連結OC，∵OA=OC，∴∠1=∠A，∵CD是⊙O的切線，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∴∠2+∠CDE=90°，∵OD⊥AB，∴∠2+∠3=90°，∴∠3=∠CDE．∵∠3=∠A+∠1=2∠A，∴∠CDE=2∠A．