【題目】如圖, 為⊙的直徑,點在⊙上,連接、,過點的切線與的延長線交于點, ,交于點,交于點.
()求證: .
()若⊙的半徑為, ,求的長.
【答案】()見解析 ().
【解析】(1)連接OB.由切線的性質先證明∠OBE=∠EFB+∠CBO=90°,再由圓周角定理得出∠CBD=∠CBO+∠OBD=90°,故∠EBF=∠OBD,根據等腰三角形的性質可知∠OBD=∠CDB,故∠EBF=∠CDB,進而可得結論;
(2)由(1)可知∽∠OBE=90°,∠E=∠C,在Rt△BOE中,利用銳角三角函數(shù)的定義即可得出結論.
證明:()∵,∴, (兩直線平行,內錯角相等,同位角相等).
連接,
∵過點的切線與的延長線交于點,
∴OB⊥AE,
∴∠OBE=∠EFB+∠CBO=90°,
為⊙的直徑,
∴∠CBD=∠CBO+∠OBD=90°,
∴∠EBF=∠OBD,
∵OB、OD是⊙O的半徑,
∴OB=OD,
∴∠OBD=∠CDB,
∴∠EBF=∠CDB,
∵,
∴∠EFB=∠CBD,
∴∽.
()由1)可知∽
∴∠OBE=90°,
∴∠E=∠C,
∵∠C=30°,
∴∠E=∠C=30°,
∵⊙O的半徑為3,
在Rt△BOE中,∠OBE=90°,∠E =30°,OB=3,
∴,即,
∴的長為.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在一次課題學習活動中,老師提出了如下問題:如圖,四邊形是正方形,點是邊的中點,,且交正方形外角平分線于點.請你探究與存在怎樣的數(shù)量關系,并證明你的結論正確.經過探究,小明得出的結論是,而要證明結論,就需要證明和所在的兩個三角形全等,但和顯然不全等(一個是直角三角形,一個是鈍角三角形),考慮到點是邊的中點,小明想到的方法是如圖2,取的中點,連接,證明.從而得到.請你參考小明的方法解決下列問題.
(1)如圖3,若把條件“點是邊的中點”改為“點是邊上的任意一點”,其余條件不變,證明結論仍然成立;
(2)如圖4,若把條件“點是邊的中點”改為:“點是邊延長線上的一點”,其余條件仍不變,那么結論是否還成立?若成立,請完成證明過程,若不成立,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在“愛滿揚州”慈善一日捐活動中,學校團總支為了了解本校學生的捐款情況,隨機抽取了50名學生的捐款數(shù)進行了統(tǒng)計,并繪制成統(tǒng)計圖.
(1)這50名同學捐款的眾數(shù)為 元,中位數(shù)為 元;
(2)求這50名同學捐款的平均數(shù);
(3)該校共有600名學生參與捐款,請估計該校學生的捐款總數(shù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】直線y=kx-2與坐標軸所圍圖形的面積為3,點A(3,m)是直線y=kx-2上一點.
(1)求點A的坐標;
(2)點P在y軸上,且∠PAO=30°,直接寫出點P坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】六一兒童節(jié)來臨之際,某服裝廠要加工一批服裝捐贈給貧困山區(qū)的孩子們該廠甲、乙兩個車間同時開工趕制這批服裝,從開始加工到加工完這批服裝,甲車間連續(xù)工作了小時,乙車間中途停工一段時間維修設備,修好后按停工前的工作效率繼續(xù)加工,直到與甲車間同時完成這批服裝的加工任務為止如圖,是甲、乙兩個車間各自加工的服裝數(shù)量(件)與時間(時)的函數(shù)圖象.
甲、乙兩車間一共加工的服裝件數(shù)是 件;甲車間每小時加工服裝的件數(shù)是 件.
乙車間中途停工維修設備用了多長時間?
求乙車間維修設備后,乙車間加工服裝的數(shù)量與之間的函數(shù)表達式
開工后多長時間,甲、乙兩個車間共同完成了件服裝的加工.
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【題目】在⊙O中,直徑AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,點P在BC上,點Q在⊙O上,且OP⊥PQ.
(1)如圖1,當PQ∥AB時,求PQ的長度;
(2)如圖2,當點P在BC上移動時,求PQ長的最大值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(提出問題)(1)如圖1,已知AB∥CD,證明:∠1+∠EPF+∠2=360°;
(類比探究)(2)如圖2,已知AB∥CD,設從E點出發(fā)的(n﹣1)條折線形成的n個角分別為∠1,∠2……∠n,探索∠1+∠2+∠3+……+∠n的度數(shù)可能在1700°至2000°之間嗎?若有可能請求出n的值,若不可能請說明理由.
(拓展延伸)(3)如圖3,已知AB∥CD,∠AE1E2的角平分線E1O與∠CEnEn﹣1的角平分線EnO交于點O,若∠E1OEn=m°.求∠2+∠3+∠4+…+∠(n﹣1)的度數(shù).(用含m、n的代數(shù)式表示)
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