Question

如圖，已知二次函數(shù)y=x²+bx+3的圖象過x軸上點A（1，0）和點B，且與y軸交與點C，頂點為P．
（1）求此二次函數(shù)的解析式及點P的坐標(biāo)．
（2）過點C且平行于x軸的直線與二次函數(shù)的圖象交于點D，過點D且垂直于x軸的直線交直線CB與點M，求△BMD的面積．

Answer 1

解：（1）∵二次函數(shù)y=x²+bx+3的圖象過x軸上點A（1，0），
∴1+b+3=0，解得b=-4，
∴此二次函數(shù)的解析式為：y=x²-4x+3，
∵二次函數(shù)y=x²-4x+3可化為y=（x-2）²-1的形式，
∴P（2，-1）；

（2）∵由（1）可知，二次函數(shù)的解析式為：y=x²-4x+3，
∴C（0，3），B（3，0）
∵CD∥x軸，
∴C、D兩點縱坐標(biāo)相同，
∴D（4，3），
設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b（k≠0），
∴解得，
∴直線BC的解析式為：y=-x+3，
∵DM⊥x軸，D（4，3）
∴M（4，-1），N（4，0）
∴S_△BMD=S_△CDM-S_△BMD=DM•CD-CD•OC=×（3+1）×4-×4×3=2．
答：△BMD的面積是2．
分析：（1）直接把點A（1，0）代入二次函數(shù)y=x²+bx+3即可求出b的值，進而得出其解析式，由二次函數(shù)的頂點式即可求出其頂點坐標(biāo)；
（2）先根據(jù)（1）中二次函數(shù)的解析式求出B、D兩點的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，由此可得出M點的坐標(biāo)，根據(jù)S_△BMD=S_△CDM-S_△BMD即可得出結(jié)論．
點評：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式及三角形的面積，難度適中．