Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，連接CD，過點(diǎn)B作BG⊥CD，分別交CD，CA于點(diǎn)E，F(xiàn)，與過點(diǎn)A且垂直于AB的直線相交于點(diǎn)G，連接DF，下列說法正確的是（　�。�

• A．

  AG

  CB

  =

  FG

  FB

• B．GF=EF
• C．3AF=AB
• D．S_△ABC=5S_△DEF

Answer 1

分析：首先根據(jù)題意易證得△AFG∽△CFB，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例與BA=BC，繼而證得

AG

AB

=

FG

FB

正確；由點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，易證得BC=2BD，由等角的余角相等，可得∠DBE=∠BCD，即可得AG=

1

2

AB，繼而可得FG=

1

2

BF；即可得AF=

1

3

AC，又由等腰直角三角形的性質(zhì)，可得AC=

2

AB，即可求得AF=

2

3

AB；則可得S_△ABC=6S_△BDF．

解答：解：A、∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，AG⊥AB，
∴AG∥BC，
∴△AFG∽△CFB，
∴

AG

BC

=

FG

FB

，
∵BA=BC，
∴

AG

AB

=

FG

FB

，故此選項(xiàng)正確；
B、∵∠ABC=90°，BG⊥CD，
∴∠DBE+∠BDE=∠BDE+∠BCD=90°，
∴∠DBE=∠BCD，
∵AB=CB，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
∴BD=

1

2

AB=

1

2

CB，
∵tan∠BCD=

BD

BC

=

1

2

，
∴在Rt△ABG中，tan∠DBE=

AG

AB

=

1

2

，
∵

AG

AB

=

FG

FB

=

1

2

，
∴FG=

1

2

FB，
∵GE≠BF，
∴點(diǎn)F不是GE的中點(diǎn)，∴GF≠EF．
故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、∵△AFG∽△CFB，
∴AF：CF=AG：BC=1：2，
∴AF=

1

3

AC，
∵AC=

2

AB，
∴AF=

2

3

AB，
故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、∵BD=

1

2

AB，AF=

1

3

AC，
∴S_△ABC=6S_△BDF，
故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是證得△AFG∽△CFB，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．