Question

【題目】如圖，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象交于A，B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C（﹣2，0），點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為6，AC＝3CB．

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）請(qǐng)直接寫出不等式組＜kx+b＜4的解集；

（3）點(diǎn)P（x，y）是直線y＝k+b上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足（2）中的不等式組，過點(diǎn)P作PQ⊥y軸交y軸于點(diǎn)Q，若△BPQ的面積記為S，求S的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）﹣3＜x＜0；（3）當(dāng)m＝﹣時(shí)，S取得最大值，最大值為．

【解析】

（1）作AD⊥x軸、BE⊥x軸，設(shè)CE=a，則CD=2+a，證△ACD∽△BCE得，即，據(jù)此求得a的值即可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，從而得出反比例函數(shù)解析式；

（2）先利用待定系數(shù)法求出直線解析式，再結(jié)合函數(shù)圖象可得答案；

（3）設(shè)P（m，2m+4）（-3＜m＜0），知PQ=-m，△BPQ在PQ邊上的高為2m+6，根據(jù)三角形的面積公式得出S關(guān)于m的函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解可得．

（1）如圖所示，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，作BE⊥x軸于點(diǎn)E，

則∠ADC＝∠BEC＝90°，

設(shè)CE＝a，則CD＝2+a，

∵∠ACD＝∠BCE，

∴△ACD∽△BCE，

∴，即，

解得：BE＝2，a＝1，

∴A（1，6），

∴反比例函數(shù)解析式為y＝；

（2）將A（1，6），C（﹣2，0）代入y＝kx+b，

得：，

解得：，

∴直線解析式為y＝2x+4，

又B（﹣3，﹣2），

∴不等式組＜kx+b＜4，即＜2x+4＜4的解集為﹣3＜x＜0；

（3）如圖所示，

設(shè)P（m，2m+4）（﹣3＜m＜0），

則PQ＝﹣m，△BPQ在PQ邊上的高為2m+4﹣（﹣2）＝2m+6，

∴S＝（﹣m）（2m+6）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，

∵﹣3＜m＜0，且拋物線的開口向下，

∴當(dāng)m＝﹣時(shí)，S取得最大值，最大值為．