Question

【題目】如圖，數(shù)軸上點(diǎn)、表示的有理數(shù)分別為－10、5，點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），點(diǎn)是線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).

（1）若點(diǎn)表示的有理數(shù)是0，那么的長為______；若點(diǎn)表示的有理數(shù)是1，那么的長為______.

（2）點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)、重合）的過程中，的長是否發(fā)生改變？若不改變，請求出的長；若改變，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）10，10；（2）的長不會(huì)發(fā)生改變，且.

【解析】

（1）由點(diǎn)P表示的有理數(shù)為0可得出AP、BP的長度，根據(jù)三等分點(diǎn)的定義可得出MP、NP的長度，再由MN＝MP+NP即可求出MN的長度；當(dāng)點(diǎn)P表示的有理數(shù)為1時(shí)，利用同樣的方法求解即可；

（2）設(shè)點(diǎn)P表示的有理數(shù)是a（a＞﹣10且a≠5），分﹣10＜a＜5及a＞5兩種情況考慮，由點(diǎn)P表示的有理數(shù)可得出AP、BP的長度（用含字母a的代數(shù)式表示），根據(jù)三等分點(diǎn)的定義可得出MP、NP的長度（用含字母a的代數(shù)式表示），再由MN＝MP+NP（或MN＝MP﹣NP），即可求出MN的長，進(jìn)而可作出判斷．

解：（1）若點(diǎn)P表示的有理數(shù)是0，則AP＝10，BP＝5．

∵M是線段AP靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，N是線段BP靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)．

∴MP＝AP＝，NP＝BP＝，

∴MN＝MP+NP＝+=10；

若點(diǎn)P表示的有理數(shù)是1，則AP＝11，BP＝4．

∵M是線段AP靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，N是線段BP靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，

∴MP＝AP＝，NP＝BP＝，

∴MN＝MP+NP＝+=10．

故答案為：10，10；

（2）MN的長不會(huì)發(fā)生改變，理由如下：

設(shè)點(diǎn)P表示的有理數(shù)是a（a＞﹣10且a≠5）．

當(dāng)﹣10＜a＜5時(shí)，如圖1，AP＝a+10，BP＝5﹣a．

∵M是線段AP靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，N是線段BP靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)．

∴MP＝AP＝(a+10)，NP＝BP＝(5﹣a)，

∴MN＝MP+NP＝(a+10)+(5﹣a)=10；

當(dāng)a＞5時(shí)（如圖2），AP＝a+10，BP＝a﹣5．

∵M是線段AP靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，N是線段BP靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)．

∴MP＝AP＝(a+10)，NP＝BP＝( a﹣5)，

∴MN＝MP﹣NP＝(a+10)－( a﹣5)=10．

綜上所述：點(diǎn)P在射線AB上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A，B重合）的過程中，MN的長不會(huì)發(fā)生變化，且為定值10．