Question

【題目】已知：如圖，∠ABC＝135°，AB＝a，BC＝b，點(diǎn)P是邊AC上任意一點(diǎn)，連結(jié)BP，將△CPB沿PB翻折，得△C'PB．

（1）若a＝，b＝6，∠C'PC＝90°，求CP的長(zhǎng)；

（2）連結(jié)AC'，當(dāng)以A、B、P、C'為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求的值．

Answer 1

【答案】（1） （2）或

【解析】

（1）本題以三角形為背景，考查“翻折圖形”性質(zhì)以及相似三角形的判定，根據(jù)特殊角度135°，可利用輔助線構(gòu)造45°，結(jié)合垂直構(gòu)造等腰直角三角形，進(jìn)而推出邊等進(jìn)行計(jì)算．

（2）本題考查平行四邊形性質(zhì)以及翻折圖形性質(zhì)、需根據(jù)動(dòng)點(diǎn)位置不同采取分類討論方式，利用四邊形性質(zhì)求解．

（1）解：由翻折，∠CPB＝∠C'PB

∵∠C'PC＝90°

∴∠CPB＝135°

又∵∠PCB=∠BCA,∠ABC=135°

∴△CPB∽△CBA

∴

過點(diǎn)C作CH⊥AB交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,如下圖

∴∠CBH＝45°

∴CH＝BH＝

∴AH＝

在Rt△CAH中，CA＝＝

∴

（2）①如圖1，

∵四邊形ABPC'是平行四邊形以及翻折條件

∴∠C'BA=∠BCP=∠BC'P

∵∠OAB=∠BAC

∴△OAB∽△BAC，OB＝

∴

過點(diǎn)C作CH⊥AB交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)H

∴CH＝BH＝

∴CA＝＝

∴

∴或（舍去）

②如圖2，

∵四邊形APBC'是平行四邊形

∴OA＝OB

又∵翻折后得平行四邊形PCBC'

∴AP＝BC=PC

結(jié)合上一問所求AC值

∴

∴或（舍去）

∴綜上，或